Номер 11.5, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (11.5–11.9):

11.5. 1) $ \sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2; $

2) $ \sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1} = 2; $

3) $ x - 1 + \sqrt{x-1} = 2; $

4) $ \sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}. $

1) Решим уравнение $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$3x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/3$

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x-1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (2 + \sqrt{x-1})^2$

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x-1} + (x-1)$

$3x+1 = x + 3 + 4\sqrt{x-1}$

Уединим оставшийся корень:

$2x - 2 = 4\sqrt{x-1}$

Разделим обе части на 2:

$x - 1 = 2\sqrt{x-1}$

Возведем обе части в квадрат еще раз. Заметим, что так как $x \ge 1$, то обе части уравнения $x-1 \ge 0$ и $2\sqrt{x-1} \ge 0$ неотрицательны, поэтому посторонние корни на этом шаге не появятся.

$(x-1)^2 = (2\sqrt{x-1})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 4(x-1)$

$x^2 - 2x + 1 = 4x - 4$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$). Оба корня подходят.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

При $x=1$: $\sqrt{3(1)+1} - \sqrt{1-1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2 - 0 = 2$. Верно.

При $x=5$: $\sqrt{3(5)+1} - \sqrt{5-1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Верно.

Ответ: $1; 5$.

2) Решим уравнение $\sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1} = 2$.

Найдем ОДЗ:

$2x-6 \ge 0 \implies x \ge 3$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

ОДЗ уравнения: $x \ge 3$.

Рассмотрим функцию в левой части уравнения $f(x) = \sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1}$. Эта функция является возрастающей на всей своей области определения как сумма двух возрастающих функций.

Найдем значение функции на левой границе ОДЗ, при $x=3$:

$f(3) = \sqrt{2(3)-6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 0 + 2 = 2$.

Мы видим, что $x=3$ является корнем уравнения. Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает при $x > 3$, она не может принимать значение $2$ ни в какой другой точке. Следовательно, $x=3$ — единственный корень.

Ответ: $3$.

3) Решим уравнение $x - 1 + \sqrt{x-1} = 2$.

ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-1}$. Тогда $t^2 = x-1$. Учитывая, что $t$ — это арифметический квадратный корень, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 + t = 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:

$t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 1$ подходит.

$t_2 = -2$ не подходит, так как $t$ не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену для $t=1$:

$\sqrt{x-1} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$x-1 = 1$

$x=2$.

Найденный корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge 1$).

Проверка: $2 - 1 + \sqrt{2-1} = 1 + \sqrt{1} = 1+1=2$. Верно.

Ответ: $2$.

4) Решим уравнение $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$.

Найдем ОДЗ:

$2x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/2$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$x \ge 0$

Общая ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(2x+1) + 2\sqrt{(2x+1)(x-3)} + (x-3) = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 6x + x - 3} = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x$

Уединим корень:

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x - (3x-2)$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2$

Поскольку $x \ge 3$, правая часть $x+2$ всегда положительна. Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2x^2 - 5x - 3})^2 = (x+2)^2$

$4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4$

$8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4$

$7x^2 - 24x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-24)^2 - 4(7)(-16) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$

$x = \frac{24 \pm \sqrt{1024}}{2 \cdot 7} = \frac{24 \pm 32}{14}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{24+32}{14} = \frac{56}{14} = 4$

$x_2 = \frac{24-32}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

$x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -4/7$ не удовлетворяет ОДЗ.

Проверим корень $x=4$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(4)+1} + \sqrt{4-3} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1 = 4$

$2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

$4=4$. Верно.

Ответ: $4$.