Номер 11.8, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11.8. 1) $\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5$;

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2-x+9} = 3$;

3) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$;

4) $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3.$

1) $\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. $3-x > 0 \implies x < 3$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{3-x}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$. Тогда уравнение принимает вид: $t + \frac{6}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$): $t^2 + 6 = 5t$ $t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 5$ $t_1 \cdot t_2 = 6$ Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $t=2$:

$\sqrt{3-x} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$3-x = 4$

$x = 3 - 4 = -1$.

2. Если $t=3$:

$\sqrt{3-x} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$3-x = 9$

$x = 3 - 9 = -6$.

Оба корня $x=-1$ и $x=-6$ удовлетворяют ОДЗ ($x < 3$).

Ответ: -6; -1.

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 3$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - x + 9 \ge 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$. Поскольку дискриминант отрицателен, а старший коэффициент (при $x^2$) положителен, выражение $x^2 - x + 9$ всегда положительно при любых $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 9}$. Так как корень арифметический, то $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x^2 - x + 9$, откуда $x^2 - x = t^2 - 9$.

Подставим в исходное уравнение: $(t^2 - 9) + t = 3$ $t^2 + t - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$ $t_1 \cdot t_2 = -12$ Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t = 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $\sqrt{x^2 - x + 9} = 3$ Возведем обе части в квадрат: $x^2 - x + 9 = 9$ $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 1$.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 0; 1.

3) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$. Знаменатель $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$, значит $\sqrt{2-x}+3 \ge 3$. Итак, ОДЗ: $x \le 2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2-x}$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $t + \frac{4}{t+3} = 2$

Умножим обе части на $(t+3)$, так как $t+3 \neq 0$: $t(t+3) + 4 = 2(t+3)$ $t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$ $t^2 + t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$ $t_1 \cdot t_2 = -2$ Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t = 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $\sqrt{2-x} = 1$ Возведем обе части в квадрат: $2-x = 1$ $x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \le 2$).

Ответ: 1.

4) $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю. $\frac{x}{x+1} \ge 0$ и $\frac{x+1}{x} \ge 0$. Также $x \ne 0$ и $x \ne -1$. Оба неравенства выполняются одновременно, когда $x$ и $x+1$ имеют одинаковый знак. 1) $x > 0$ и $x+1 > 0 \implies x > 0$. 2) $x < 0$ и $x+1 < 0 \implies x < -1$. Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{t}$. Так как $x \ne 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид: $t + \frac{2}{t} = 3$

Умножим обе части на $t$ ($t \ne 0$): $t^2 + 2 = 3t$ $t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 3$ $t_1 \cdot t_2 = 2$ Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $t=1$:

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1$

$\frac{x}{x+1} = 1$

$x = x+1$

$0 = 1$. Решений нет.

2. Если $t=2$:

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 2$

$\frac{x}{x+1} = 4$

$x = 4(x+1)$

$x = 4x + 4$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$.

Проверим корень по ОДЗ. $x = -\frac{4}{3} \approx -1.33$. Этот корень принадлежит промежутку $(-\infty; -1)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.