Номер 11.7, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11.7. 1) $\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{4x-7}$;

2) $\sqrt{x}+\sqrt{x-3}=\sqrt{3(x-1)}$;

3) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-1}$;

4) $\sqrt{4x+8}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+2}$.

1)Исходное уравнение: $\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{4x-7}$.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \\ 4x-7 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 1.5 \\ x \ge 1.75 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем $x \ge 1.75$.

Также, поскольку правая часть уравнения ($\sqrt{4x-7}$) неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:

$\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+2} \ge \sqrt{2x-3} \Rightarrow x+2 \ge 2x-3 \Rightarrow 5 \ge x$.

Итоговая ОДЗ: $x \in [1.75; 5]$.

Перенесем один из корней в правую часть и возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от одного из радикалов:

$\sqrt{x+2} = \sqrt{4x-7} + \sqrt{2x-3}$

$(\sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{4x-7} + \sqrt{2x-3})^2$

$x+2 = (4x-7) + 2\sqrt{(4x-7)(2x-3)} + (2x-3)$

$x+2 = 6x - 10 + 2\sqrt{8x^2 - 12x - 14x + 21}$

$x+2 = 6x - 10 + 2\sqrt{8x^2 - 26x + 21}$

Уединим оставшийся корень:

$12 - 5x = 2\sqrt{8x^2 - 26x + 21}$

Левая часть должна быть неотрицательной, так как правая часть неотрицательна: $12-5x \ge 0 \Rightarrow 12 \ge 5x \Rightarrow x \le 2.4$.

С учетом ОДЗ, получаем более узкий интервал для корней: $x \in [1.75; 2.4]$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(12 - 5x)^2 = 4(8x^2 - 26x + 21)$

$144 - 120x + 25x^2 = 32x^2 - 104x + 84$

$7x^2 + 16x - 60 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-60) = 256 + 1680 = 1936 = 44^2$

$x_1 = \frac{-16 + 44}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$

$x_2 = \frac{-16 - 44}{2 \cdot 7} = \frac{-60}{14} = -\frac{30}{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [1.75; 2.4]$).

$x_1 = 2$ — подходит.

$x_2 = -30/7 \approx -4.28$ — не подходит.

Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2+2}-\sqrt{2\cdot2-3} = \sqrt{4\cdot2-7} \Rightarrow \sqrt{4}-\sqrt{1} = \sqrt{1} \Rightarrow 2-1=1 \Rightarrow 1=1$. Верно.

Ответ: $2$

2)Исходное уравнение: $\sqrt{x}+\sqrt{x-3}=\sqrt{3(x-1)}$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \\ 3(x-1) \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 3 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x}+\sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{3x-3})^2$

$x + 2\sqrt{x(x-3)} + x-3 = 3x-3$

$2x - 3 + 2\sqrt{x^2-3x} = 3x-3$

Уединим корень:

$2\sqrt{x^2-3x} = x$

Так как $x \ge 3$ по ОДЗ, обе части уравнения неотрицательны. Снова возведем в квадрат:

$(2\sqrt{x^2-3x})^2 = x^2$

$4(x^2-3x) = x^2$

$4x^2 - 12x = x^2$

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x-4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

$x_1 = 0$ — не подходит.

$x_2 = 4$ — подходит.

Проверим корень $x=4$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{4}+\sqrt{4-3} = \sqrt{3(4-1)} \Rightarrow 2+\sqrt{1} = \sqrt{3 \cdot 3} \Rightarrow 2+1=\sqrt{9} \Rightarrow 3=3$. Верно.

Ответ: $4$

3)Исходное уравнение: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-1}$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 3x-1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 1 \\ x \ge 1/3 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{3x-1})^2$

$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x-1) = 3x-1$

$2x + 2\sqrt{x^2-1} = 3x-1$

Уединим корень:

$2\sqrt{x^2-1} = x-1$

Так как $x \ge 1$ по ОДЗ, обе части уравнения неотрицательны. Возведем в квадрат еще раз:

$(2\sqrt{x^2-1})^2 = (x-1)^2$

$4(x^2-1) = x^2 - 2x + 1$

$4x^2 - 4 = x^2 - 2x + 1$

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

$x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

$x_1 = 1$ — подходит.

$x_2 = -5/3$ — не подходит.

Проверим корень $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{1+1}+\sqrt{1-1} = \sqrt{3\cdot1-1} \Rightarrow \sqrt{2}+\sqrt{0} = \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}=\sqrt{2}$. Верно.

Ответ: $1$

4)Исходное уравнение: $\sqrt{4x+8}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+2}$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x+8 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 2/3 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2/3$.

Также, $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} \ge 0 \Rightarrow 4x+8 \ge 3x-2 \Rightarrow x \ge -10$. Это условие не сужает ОДЗ.

Преобразуем первый член уравнения: $\sqrt{4x+8} = \sqrt{4(x+2)} = 2\sqrt{x+2}$.

Подставим это в уравнение:

$2\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+2}$

Перенесем $\sqrt{x+2}$ влево, а $\sqrt{3x-2}$ вправо:

$2\sqrt{x+2}-\sqrt{x+2}=\sqrt{3x-2}$

$\sqrt{x+2}=\sqrt{3x-2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{3x-2})^2$

$x+2 = 3x-2$

$4 = 2x$

$x = 2$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \ge 2/3$).

$x=2$ — подходит.

Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{4\cdot2+8}-\sqrt{3\cdot2-2} = \sqrt{2+2} \Rightarrow \sqrt{16}-\sqrt{4} = \sqrt{4} \Rightarrow 4-2=2 \Rightarrow 2=2$. Верно.

Ответ: $2$