Номер 11.2, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11.2. 1) $\sqrt{x+2}=x;$

2) $\sqrt{4x-3}=x;$

3) $\sqrt[3]{1-x^3}=1-x;$

4) $\sqrt[4]{x^4+x^2-1}=x.$

1) $\sqrt{x+2} = x$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ).

Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, что дает $x \ge -2$.

Во-вторых, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$

$x+2 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):

$x_1 = 2$ — удовлетворяет условию $2 \ge 0$.

$x_2 = -1$ — не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $2$

2) $\sqrt{4x-3} = x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. Выражение под корнем: $4x-3 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 3 \Rightarrow x \ge \frac{3}{4}$.

2. Правая часть уравнения: $x \ge 0$.

Общее ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4x-3})^2 = x^2$

$4x-3 = x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$):

$x_1 = 1$ — удовлетворяет условию $1 \ge \frac{3}{4}$.

$x_2 = 3$ — удовлетворяет условию $3 \ge \frac{3}{4}$.

Оба корня подходят.

Ответ: $1; 3$

3) $\sqrt[3]{1-x^3} = 1-x$

Для кубического корня область допустимых значений — все действительные числа, поэтому никаких ограничений на $x$ нет.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{1-x^3})^3 = (1-x)^3$

$1-x^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3$

Прибавим $x^3$ к обеим частям уравнения:

$1 = 1 - 3x + 3x^2$

Вычтем 1 из обеих частей:

$0 = -3x + 3x^2$

$3x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x-1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x-1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$

Так как ограничений на ОДЗ не было, оба корня являются решениями.

Ответ: $0; 1$

4) $\sqrt[4]{x^4+x^2-1} = x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x^4+x^2-1 \ge 0$.

2. Результат извлечения корня четной степени не может быть отрицательным: $x \ge 0$.

Общее ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} x^4+x^2-1 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x^4+x^2-1})^4 = x^4$

$x^4+x^2-1 = x^4$

Вычтем $x^4$ из обеих частей:

$x^2-1 = 0$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

Для $x_1 = 1$:

1. $1 \ge 0$ (верно).

2. $1^4+1^2-1 = 1+1-1 = 1 \ge 0$ (верно).

Следовательно, $x=1$ является решением.

Для $x_2 = -1$:

1. $-1 \ge 0$ (неверно).

Следовательно, $x=-1$ является посторонним корнем.

Уравнение имеет только один корень.

Ответ: $1$