Номер 10.8, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10.8. Являются ли данные числа корнями иррационального уравнения:

1) $\sqrt{6x - x^2} = x$ и $x = 0, x = -3;

2) $\sqrt{14 - 20x - x^2} = x$ и $x = 2, x = 5?

1) Для того чтобы проверить, являются ли данные числа корнями иррационального уравнения $\sqrt{6x - x^2} = x$, необходимо подставить каждое значение $x$ в уравнение и проверить, выполняется ли равенство. Также важно учитывать область определения для иррациональных уравнений.

Для уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень по определению не может быть отрицательным числом: $g(x) \ge 0$.

В данном уравнении $f(x) = 6x - x^2$ и $g(x) = x$. Следовательно, должны выполняться условия: $6x - x^2 \ge 0$ и $x \ge 0$.

Проверка для $x = 0$:

Подставляем $x = 0$ в исходное уравнение:

$\sqrt{6(0) - 0^2} = 0$

$\sqrt{0} = 0$

$0 = 0$

Равенство верно. Проверим условия: $x=0 \ge 0$ (верно) и $6(0) - 0^2 = 0 \ge 0$ (верно).Значит, $x = 0$ является корнем уравнения.

Проверка для $x = -3$:

Проверим условие $x \ge 0$. Для $x = -3$ это условие не выполняется, так как $-3 < 0$. Это означает, что $x=-3$ не может быть корнем, поскольку левая часть уравнения (арифметический корень) не может быть равна отрицательному числу.

Дополнительно можно проверить подкоренное выражение: $6(-3) - (-3)^2 = -18 - 9 = -27$. Так как $-27 < 0$, выражение под корнем отрицательно, и, следовательно, левая часть уравнения не определена в области действительных чисел.

Значит, $x = -3$ не является корнем уравнения.

Ответ: $x=0$ является корнем уравнения, а $x=-3$ не является.

2) Проверим, являются ли числа $x=2$ и $x=5$ корнями уравнения $\sqrt{14 - 20x - x^2} = x$.

Как и в предыдущем пункте, должны выполняться условия: $14 - 20x - x^2 \ge 0$ и $x \ge 0$.

Проверка для $x = 2$:

Условие $x \ge 0$ выполняется, так как $2 > 0$.

Теперь проверим подкоренное выражение: $14 - 20(2) - 2^2 = 14 - 40 - 4 = -30$.

Подкоренное выражение отрицательно ($-30 < 0$), поэтому левая часть уравнения не определена в области действительных чисел.

Следовательно, $x = 2$ не является корнем уравнения.

Проверка для $x = 5$:

Условие $x \ge 0$ выполняется, так как $5 > 0$.

Проверим подкоренное выражение: $14 - 20(5) - 5^2 = 14 - 100 - 25 = -111$.

Подкоренное выражение отрицательно ($-111 < 0$), поэтому левая часть уравнения не определена в области действительных чисел.

Следовательно, $x = 5$ не является корнем уравнения.

Ответ: Ни число $2$, ни число $5$ не являются корнями данного уравнения.