gdz.top
Номер 16, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова
Авторы: Абылкасымова А. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава II. Степени и корни. Степенная функция. Проверь себя! - номер 16, страница 65.
№15
№16 (с. 65)
Условие. №16 (с. 65)
16. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$, $y = 0$, $x = 4$:
A) $\frac{8}{3}$;
B) $\frac{3}{16}$;
C) $\frac{16}{3}$;
D) $\frac{2}{3}$.
Решение 2 (rus). №16 (с. 65)
Площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$
В данном случае фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y=0$ (ось Ox) и $x=4$. Нижний предел интегрирования $a$ находится из точки пересечения линий $y=\sqrt{x}$ и $y=0$, что дает $\sqrt{x}=0$, откуда $x=0$. Таким образом, $a=0$. Верхний предел интегрирования задан прямой $x=4$, то есть $b=4$.
Подставим данные в формулу площади:
$S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \,dx$
Для вычисления интеграла представим $\sqrt{x}$ в виде степенной функции $x^{1/2}$ и найдем первообразную:
$\int x^{1/2} \,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$
Теперь вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования:
$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2}$
Вычислим значение $4^{3/2}$:
$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$
Подставим полученное значение обратно в выражение для площади:
$S = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 0 = \frac{16}{3} - 0 = \frac{16}{3}$
Таким образом, площадь фигуры равна $\frac{16}{3}$. Сравнивая результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту C.
Ответ: C) $\frac{16}{3}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 16 расположенного на странице 65 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16 (с. 65), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.