Номер 9.8, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.8. Найдите производную функции $y = f(x):$

1) $f(x) = x^{\sqrt{6}} + x^{2.5} + 10;$

2) $f(x) = x^{\sqrt{6}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8;$

3) $f(x) = x^{\frac{5}{6}} + (x-2)^{\sqrt{2}};$

4) $f(x) = x^{\frac{3}{8}} - (1+x^2)^{\frac{5}{4}}.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = x^{\sqrt{6}} + x^{2.5} + 10$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и правилом для степенной функции. Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = (x^{\sqrt{6}})' + (x^{2.5})' + (10)'$.

Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и учтем, что производная константы равна нулю.

Для первого слагаемого: $(x^{\sqrt{6}})' = \sqrt{6}x^{\sqrt{6}-1}$.

Для второго слагаемого: $(x^{2.5})' = 2.5x^{2.5-1} = 2.5x^{1.5}$.

Производная константы: $(10)' = 0$.

Складывая результаты, получаем производную исходной функции: $f'(x) = \sqrt{6}x^{\sqrt{6}-1} + 2.5x^{1.5}$.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{6}x^{\sqrt{6}-1} + 2.5x^{1.5}$

2) Дана функция $f(x) = x^{\sqrt{5}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8$. Найдем ее производную, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности.

$f'(x) = (x^{\sqrt{5}-2})' - (x^{-\frac{1}{8}})' - (5.8)'$.

Используя правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$(x^{\sqrt{5}-2})' = (\sqrt{5}-2)x^{(\sqrt{5}-2)-1} = (\sqrt{5}-2)x^{\sqrt{5}-3}$.

$(x^{-\frac{1}{8}})' = -\frac{1}{8}x^{-\frac{1}{8}-1} = -\frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$.

Производная константы: $(5.8)' = 0$.

Подставляем найденные производные в общее выражение: $f'(x) = (\sqrt{5}-2)x^{\sqrt{5}-3} - (-\frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}) - 0 = (\sqrt{5}-2)x^{\sqrt{5}-3} + \frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$.

Ответ: $f'(x) = (\sqrt{5}-2)x^{\sqrt{5}-3} + \frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$

3) Для функции $f(x) = x^{\frac{5}{6}} + (x-2)^{\sqrt{2}}$ производная находится как сумма производных: $f'(x) = (x^{\frac{5}{6}})' + ((x-2)^{\sqrt{2}})'$.

Производная первого слагаемого по степенному правилу: $(x^{\frac{5}{6}})' = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6}-1} = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$.

Второе слагаемое является сложной функцией. Применяем правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. Здесь $g(u) = u^{\sqrt{2}}$ и $h(x) = x-2$.

$g'(u) = \sqrt{2}u^{\sqrt{2}-1}$.

$h'(x) = (x-2)' = 1$.

Следовательно, $((x-2)^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1} \cdot 1 = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$.

Итоговая производная: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}} + \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}} + \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$

4) Дана функция $f(x) = x^{\frac{3}{8}} - (1+x^2)^{\frac{5}{4}}$. Найдем ее производную: $f'(x) = (x^{\frac{3}{8}})' - ((1+x^2)^{\frac{5}{4}})'$.

Производная первого слагаемого: $(x^{\frac{3}{8}})' = \frac{3}{8}x^{\frac{3}{8}-1} = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}}$.

Для второго слагаемого применим правило дифференцирования сложной функции. Пусть $g(u) = u^{\frac{5}{4}}$ и $h(x) = 1+x^2$.

$g'(u) = \frac{5}{4}u^{\frac{5}{4}-1} = \frac{5}{4}u^{\frac{1}{4}}$.

$h'(x) = (1+x^2)' = 2x$.

Производная второго слагаемого: $((1+x^2)^{\frac{5}{4}})' = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{5}{4}(1+x^2)^{\frac{1}{4}} \cdot 2x = \frac{5}{2}x(1+x^2)^{\frac{1}{4}}$.

Собираем все вместе: $f'(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} - \frac{5}{2}x(1+x^2)^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} - \frac{5}{2}x(1+x^2)^{\frac{1}{4}}$