Номер 9.6, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.6. Вычислите интеграл:

1) $\int_1^8 x^{-\frac{1}{3}}dx$;

2) $\int_1^4 \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}}$;

3) $\int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}}dx$;

4) $\int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}}dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.$\int_1^8 x^{-\frac{1}{3}}dx = \left. \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} \right|_1^8 = \left. \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \right|_1^8 = \left. \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} \right|_1^8 = \frac{3}{2} \cdot 8^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot (\sqrt[3]{8})^2 - \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \cdot 2^2 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12-3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.Ответ: $4.5$

2) Сначала преобразуем подынтегральное выражение, используя свойство степени, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница.$\int_1^4 \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}} = \int_1^4 x^{-\frac{3}{2}}dx = \left. \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} \right|_1^4 = \left. \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right|_1^4 = \left. -2x^{-\frac{1}{2}} \right|_1^4 = \left. -\frac{2}{\sqrt{x}} \right|_1^4 = \left(-\frac{2}{\sqrt{4}}\right) - \left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right) = -\frac{2}{2} - (-2) = -1 + 2 = 1$.Ответ: $1$

3) Вынесем постоянный множитель за знак интеграла и применим формулу Ньютона-Лейбница.$\int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}}dx = 4 \int_{16}^{81} x^{-\frac{1}{4}}dx = 4 \cdot \left. \frac{x^{-\frac{1}{4}+1}}{-\frac{1}{4}+1} \right|_{16}^{81} = 4 \cdot \left. \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} \right|_{16}^{81} = 4 \cdot \frac{4}{3} \left. x^{\frac{3}{4}} \right|_{16}^{81} = \frac{16}{3} (81^{\frac{3}{4}} - 16^{\frac{3}{4}}) = \frac{16}{3} ((\sqrt[4]{81})^3 - (\sqrt[4]{16})^3) = \frac{16}{3} (3^3 - 2^3) = \frac{16}{3} (27 - 8) = \frac{16}{3} \cdot 19 = \frac{304}{3}$.Ответ: $\frac{304}{3}$

4) Вынесем постоянный множитель за знак интеграла и применим формулу Ньютона-Лейбница.$\int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}}dx = 6 \int_1^{32} x^{\frac{1}{5}}dx = 6 \cdot \left. \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} \right|_1^{32} = 6 \cdot \left. \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} \right|_1^{32} = 6 \cdot \frac{5}{6} \left. x^{\frac{6}{5}} \right|_1^{32} = 5 (32^{\frac{6}{5}} - 1^{\frac{6}{5}}) = 5 ((\sqrt[5]{32})^6 - 1) = 5 (2^6 - 1) = 5 (64 - 1) = 5 \cdot 63 = 315$.Ответ: $315$