Номер 9.12, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите интегралы (9.12–9.13):

9.12. 1) $\int_0^7 (x + 1)^{\frac{2}{3}} dx$; 2) $\int_{-4}^3 \frac{dx}{(5 + x)^{\frac{1}{3}}}$.

1) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{7} (x + 1)^{\frac{2}{3}} dx$ воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = x + 1$. Тогда дифференциал $dt = d(x + 1) = (x+1)'dx = dx$.

Найдем новые пределы интегрирования:

При $x = 0$, нижний предел $t = 0 + 1 = 1$.

При $x = 7$, верхний предел $t = 7 + 1 = 8$.

Подставляем новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:

$\int_{0}^{7} (x + 1)^{\frac{2}{3}} dx = \int_{1}^{8} t^{\frac{2}{3}} dt$.

Для вычисления полученного интеграла применим формулу интегрирования степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ и формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{1}^{8} t^{\frac{2}{3}} dt = [\frac{t^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}]_{1}^{8} = [\frac{t^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{1}^{8} = [\frac{3}{5}t^{\frac{5}{3}}]_{1}^{8}$.

Подставим пределы интегрирования:

$[\frac{3}{5}t^{\frac{5}{3}}]_{1}^{8} = \frac{3}{5}(8^{\frac{5}{3}}) - \frac{3}{5}(1^{\frac{5}{3}}) = \frac{3}{5}((\sqrt[3]{8})^5) - \frac{3}{5}(1) = \frac{3}{5}(2^5) - \frac{3}{5} = \frac{3}{5}(32) - \frac{3}{5} = \frac{96}{5} - \frac{3}{5} = \frac{93}{5} = 18.6$.

Ответ: $18.6$

2) Для вычисления интеграла $\int_{-4}^{3} \frac{dx}{(5 + x)^{\frac{1}{3}}}$ представим подынтегральную функцию в виде степени: $\int_{-4}^{3} (5 + x)^{-\frac{1}{3}} dx$.

Воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 5 + x$. Тогда дифференциал $dt = d(5 + x) = (5+x)'dx = dx$.

Найдем новые пределы интегрирования:

При $x = -4$, нижний предел $t = 5 + (-4) = 1$.

При $x = 3$, верхний предел $t = 5 + 3 = 8$.

Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:

$\int_{-4}^{3} (5 + x)^{-\frac{1}{3}} dx = \int_{1}^{8} t^{-\frac{1}{3}} dt$.

Применим формулу интегрирования степенной функции и формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{8} t^{-\frac{1}{3}} dt = [\frac{t^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}]_{1}^{8} = [\frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}]_{1}^{8} = [\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8}$.

Подставим пределы интегрирования:

$[\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8} = \frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(1^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2}((\sqrt[3]{8})^2) - \frac{3}{2}(1) = \frac{3}{2}(2^2) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(4) - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: $4.5$