Номер 9.11, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.11. Напишите общий вид первообразных функции $y = f(x):$

1) $f(x) = x^{-1+\sqrt{5}} + x^{2.5};$

2) $f(x) = -2x^{-53} + \sqrt{x};$

3) $f(x) = x^{-2+\sqrt{2}} + \sqrt[4]{x^3};$

4) $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - \sqrt[5]{x^2}.$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = x^{-1+\sqrt{5}} + x^{2.5}$ воспользуемся правилом нахождения первообразной для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ и правилом интегрирования суммы функций. Общий вид первообразной $F(x)$ будет суммой первообразных для каждого слагаемого плюс произвольная постоянная $C$.

Найдем первообразную для первого слагаемого $x^{-1+\sqrt{5}}$:

$\int x^{-1+\sqrt{5}} \,dx = \frac{x^{(-1+\sqrt{5})+1}}{(-1+\sqrt{5})+1} = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}.$

Найдем первообразную для второго слагаемого $x^{2.5}$:

$\int x^{2.5} \,dx = \frac{x^{2.5+1}}{2.5+1} = \frac{x^{3.5}}{3.5}.$

Таким образом, общий вид первообразных для исходной функции:

$F(x) = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} + \frac{x^{3.5}}{3.5} + C.$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} + \frac{x^{3.5}}{3.5} + C$.

2) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = -2x^{-53} + \sqrt{x}$ сначала представим ее в виде суммы степенных функций: $f(x) = -2x^{-53} + x^{1/2}$.

Найдем первообразную для первого слагаемого $-2x^{-53}$:

$\int -2x^{-53} \,dx = -2 \cdot \frac{x^{-53+1}}{-53+1} = -2 \cdot \frac{x^{-52}}{-52} = \frac{1}{26}x^{-52}.$

Найдем первообразную для второго слагаемого $x^{1/2}$:

$\int x^{1/2} \,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.$

Общий вид первообразных $F(x)$ равен сумме полученных первообразных плюс произвольная постоянная $C$:

$F(x) = \frac{1}{26}x^{-52} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C.$

Ответ: $F(x) = \frac{1}{26}x^{-52} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

3) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = x^{-3+\sqrt{2}} + \sqrt[4]{x^3}$ представим ее в виде суммы степенных функций: $f(x) = x^{-3+\sqrt{2}} + x^{3/4}$.

Найдем первообразную для первого слагаемого $x^{-3+\sqrt{2}}$:

$\int x^{-3+\sqrt{2}} \,dx = \frac{x^{(-3+\sqrt{2})+1}}{(-3+\sqrt{2})+1} = \frac{x^{-2+\sqrt{2}}}{-2+\sqrt{2}} = \frac{x^{\sqrt{2}-2}}{\sqrt{2}-2}.$

Найдем первообразную для второго слагаемого $x^{3/4}$:

$\int x^{3/4} \,dx = \frac{x^{3/4+1}}{3/4+1} = \frac{x^{7/4}}{7/4} = \frac{4}{7}x^{7/4}.$

Общий вид первообразных $F(x)$ равен сумме полученных первообразных плюс произвольная постоянная $C$:

$F(x) = \frac{x^{\sqrt{2}-2}}{\sqrt{2}-2} + \frac{4}{7}x^{7/4} + C.$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{\sqrt{2}-2}}{\sqrt{2}-2} + \frac{4}{7}x^{7/4} + C$.

4) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - \sqrt[5]{x^2}$ представим ее в виде $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - x^{2/5}$.

Найдем первообразную для первого слагаемого $5x^{-\sqrt{6}-1}$:

$\int 5x^{-\sqrt{6}-1} \,dx = 5 \cdot \frac{x^{(-\sqrt{6}-1)+1}}{(-\sqrt{6}-1)+1} = 5 \cdot \frac{x^{-\sqrt{6}}}{-\sqrt{6}} = -\frac{5}{\sqrt{6}}x^{-\sqrt{6}}.$

Найдем первообразную для второго слагаемого $-x^{2/5}$:

$\int -x^{2/5} \,dx = - \frac{x^{2/5+1}}{2/5+1} = - \frac{x^{7/5}}{7/5} = -\frac{5}{7}x^{7/5}.$

Общий вид первообразных $F(x)$ равен сумме полученных первообразных плюс произвольная постоянная $C$:

$F(x) = -\frac{5}{\sqrt{6}}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C.$

Ответ: $F(x) = -\frac{5}{\sqrt{6}}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C$.