Номер 9.10, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.10. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на $[a; b]$:

1) $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$, $[1; 9]$;

2) $f(x) = x^{-5}$, $[2; 3]$;

3) $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$, $[8; 27]$;

4) $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $[1; 16]$.

1) Дана функция $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ на отрезке $[1; 9]$.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке:

1. Найти производную функции $f'(x)$.

2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка.

3. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

4. Выбрать из полученных значений наименьшее и наибольшее.

Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 0$, откуда получаем $x = 0$.

Критическая точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[1; 9]$.

Поскольку на интервале $(1; 9)$ производная $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ всегда положительна ($f'(x) > 0$), функция является строго возрастающей на всем отрезке $[1; 9]$.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(1) = 1^{\frac{3}{2}} = 1$.

Наибольшее значение: $f(9) = 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $27$.

2) Дана функция $f(x) = x^{-5}$ на отрезке $[2; 3]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-5})' = -5x^{-5-1} = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $-\frac{5}{x^6} = 0$, не имеет решений. Производная определена для всех $x \neq 0$, поэтому на отрезке $[2; 3]$ критических точек нет.

Исследуем знак производной на отрезке $[2; 3]$. Поскольку $x^6 > 0$ для любого $x$ из этого отрезка, то $f'(x) = -\frac{5}{x^6} < 0$.

Так как производная отрицательна на всем отрезке, функция $f(x)$ является строго убывающей.

Следовательно, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $f(2) = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Наименьшее значение: $f(3) = 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{243}$, наибольшее значение $\frac{1}{32}$.

3) Дана функция $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$ на отрезке $[8; 27]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(x^{-\frac{2}{3}}\right)' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[8; 27]$. Таким образом, на данном отрезке нет критических точек.

Исследуем знак производной. Для любого $x$ из отрезка $[8; 27]$ значение $x$ положительно, а значит и $\sqrt[3]{x^5}$ положительно.

Следовательно, $f'(x) = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} < 0$ на всем отрезке.

Так как производная отрицательна, функция $f(x)$ является строго убывающей.

Следовательно, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $f(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^{-2} = (\sqrt[3]{8})^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Наименьшее значение: $f(27) = 27^{-\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^{-2} = (\sqrt[3]{27})^{-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{9}$, наибольшее значение $\frac{1}{4}$.

4) Дана функция $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ на отрезке $[1; 16]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(x^{\frac{1}{4}}\right)' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 16]$. Таким образом, на данном отрезке нет критических точек.

Исследуем знак производной. Для любого $x$ из отрезка $[1; 16]$ значение $x$ положительно, а значит и $\sqrt[4]{x^3}$ положительно.

Следовательно, $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} > 0$ на всем отрезке.

Так как производная положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(1) = 1^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Наибольшее значение: $f(16) = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $2$.