Номер 9.5, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.5. Напишите общий вид первообразных функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{2\sqrt{2}}$;

2) $f(x) = -2x^{-\pi}$;

3) $f(x) = \frac{1}{4}x^{-4}$;

4) $f(x) = 0,5x^{-0,5}$.

1) Для нахождения общего вида первообразных степенной функции $f(x) = x^n$ используется формула $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). В данном случае дана функция $f(x) = x^{2\sqrt{2}}$. Здесь показатель степени $n = 2\sqrt{2}$. Применяя формулу, получаем: $F(x) = \frac{x^{2\sqrt{2} + 1}}{2\sqrt{2} + 1} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{2\sqrt{2} + 1}}{2\sqrt{2} + 1} + C$.

2) Для функции вида $f(x) = k \cdot x^n$ общий вид первообразных находится по формуле $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае дана функция $f(x) = -2x^{-\pi}$. Здесь коэффициент $k = -2$ и показатель степени $n = -\pi$. Подставляем эти значения в формулу: $F(x) = -2 \cdot \frac{x^{-\pi + 1}}{-\pi + 1} + C = \frac{-2}{1 - \pi}x^{1-\pi} + C$. Для удобства можно изменить знак в знаменателе и перед дробью: $F(x) = \frac{2}{\pi - 1}x^{1-\pi} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{\pi - 1}x^{1-\pi} + C$.

3) Используем ту же формулу для нахождения первообразной: $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}x^{-4}$. Здесь коэффициент $k = \frac{1}{4}$ и показатель степени $n = -4$. Находим первообразную: $F(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{12}x^{-3} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{12}x^{-3} + C$.

4) Снова применяем формулу $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Дана функция $f(x) = 0.5x^{-0.5}$. Здесь коэффициент $k = 0.5$ и показатель степени $n = -0.5$. Находим первообразную: $F(x) = 0.5 \cdot \frac{x^{-0.5 + 1}}{-0.5 + 1} + C = 0.5 \cdot \frac{x^{0.5}}{0.5} + C = x^{0.5} + C$. Это выражение также можно записать как $F(x) = \sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = x^{0.5} + C$.