Вопросы, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Верно ли утверждение, что если $f(x) = x^{-n} (n \in N)$, то $f'(x)$ определена на $R$? Ответ обоснуйте.

2. В какой точке нельзя найти первообразную функции $y = x^{-n} (n \in N)$? Ответ обоснуйте.

1. Нет, данное утверждение неверно. Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-n}$, где $n \in N$ (множество натуральных чисел). Эту функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^n}$. Областью определения этой функции являются все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Знаменатель $x^n = 0$ только при $x=0$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ есть множество $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция не определена в точке $x=0$. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (x^{-n})' = -n \cdot x^{-n-1} = -\frac{n}{x^{n+1}}$. Область определения производной $f'(x)$ также исключает точку $x=0$, поскольку при $x=0$ знаменатель $x^{n+1}$ обращается в ноль, что делает выражение неопределенным. Таким образом, производная $f'(x)$ определена на том же множестве, что и исходная функция, то есть на $R \setminus \{0\}$, а не на всем множестве действительных чисел $R$.

Ответ: утверждение неверно.

2. Первообразную для функции $y = x^{-n}$ ($n \in N$) нельзя найти в точке $x=0$. Обоснование: Функция $y = x^{-n}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^n}$. Эта функция не определена в точке $x=0$, так как при подстановке $x=0$ в знаменатель мы получаем деление на ноль. В точке $x=0$ функция имеет бесконечный разрыв. По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $y(x)$ на некотором интервале, если для всех $x$ из этого интервала выполняется равенство $F'(x) = y(x)$. Поскольку функция $y(x)$ не определена в точке $x=0$, то и значение $y(0)$ не существует. Следовательно, равенство $F'(0) = y(0)$ не может быть выполнено ни для какой функции $F(x)$. Это означает, что ни одна функция не может быть первообразной для $y = x^{-n}$ в точке $x=0$. Можно также рассмотреть общую формулу для первообразной:

• Если $n=1$, то $y = \frac{1}{x}$, и ее первообразная $F(x) = \ln|x| + C$. Эта функция не определена в точке $x=0$.
• Если $n > 1$ ($n \in N$), то первообразная находится по формуле $\int x^k dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C$. $F(x) = \int x^{-n} dx = \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C = -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C$. Эта функция также не определена в точке $x=0$.

Ответ: в точке $x=0$.