Номер 9.1, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите производную функции $y = f(x)$ (9.1–9.2):

9.1. 1) $f(x) = x^{5/6}$; 2) $f(x) = x^{-2/3}$; 3) $f(x) = x^{\sqrt{6}}$; 4) $f(x) = x^{-1+\sqrt{3}}$.

1) Для нахождения производной функции $f(x) = x^{\frac{5}{6}}$ используется правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В данном случае показатель степени $n = \frac{5}{6}$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{\frac{5}{6}})' = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6} - 1}$.

Упростим показатель степени: $\frac{5}{6} - 1 = \frac{5}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{1}{6}$.

Таким образом, производная равна: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$.

2) Для функции $f(x) = x^{-\frac{2}{7}}$ применяем то же правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Здесь показатель степени $n = -\frac{2}{7}$.

Подставляем $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{-\frac{2}{7}})' = -\frac{2}{7}x^{-\frac{2}{7} - 1}$.

Упростим показатель степени: $-\frac{2}{7} - 1 = -\frac{2}{7} - \frac{7}{7} = -\frac{9}{7}$.

Следовательно, производная равна: $f'(x) = -\frac{2}{7}x^{-\frac{9}{7}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{7}x^{-\frac{9}{7}}$.

3) Для функции $f(x) = x^{\sqrt{6}}$ используем то же правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В этом случае показатель степени $n = \sqrt{6}$.

Подставляем $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{\sqrt{6}})' = \sqrt{6}x^{\sqrt{6} - 1}$.

Это выражение является окончательным.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{6}x^{\sqrt{6} - 1}$.

4) Для функции $f(x) = x^{-1+\sqrt{3}}$ также используем правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Здесь показатель степени $n = -1+\sqrt{3}$.

Подставляем $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{-1+\sqrt{3}})' = (-1+\sqrt{3})x^{(-1+\sqrt{3}) - 1}$.

Упростим показатель степени: $(-1+\sqrt{3}) - 1 = \sqrt{3} - 2$.

Таким образом, производная равна: $f'(x) = (\sqrt{3}-1)x^{\sqrt{3}-2}$.

Ответ: $f'(x) = (\sqrt{3}-1)x^{\sqrt{3}-2}$.