Номер 9.3, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.3. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, проведенной в точке $N(a; b):$

1) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}, N\left(\frac{1}{27}; 3\right);$

2) $f(x) = x^{-2} + x, N(1; 2);$

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}, N(1; 1);$

4) $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}, N(1; 4).$

1) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Для функции $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$ и точки $N(\frac{1}{27}; 3)$, имеем $a = \frac{1}{27}$ и $f(a) = 3$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3} - 1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

Вычислим значение производной в точке $a = \frac{1}{27}$:

$f'(\frac{1}{27}) = -\frac{1}{3}(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(27^{-1})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(27^{\frac{4}{3}}) = -\frac{1}{3}(\sqrt[3]{27})^4 = -\frac{1}{3} \cdot 3^4 = -27$.

Подставим найденные значения $a = \frac{1}{27}$, $f(a) = 3$ и $f'(a) = -27$ в уравнение касательной:

$y = 3 + (-27)(x - \frac{1}{27})$

$y = 3 - 27x + 27 \cdot \frac{1}{27}$

$y = 3 - 27x + 1$

$y = -27x + 4$.

Ответ: $y = -27x + 4$.

2) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Для функции $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} + x$ и точки $N(1; 2)$, имеем $a = 1$ и $f(a) = 2$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{2}} + x)' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} - 1} + 1 = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} + 1$.

Вычислим значение производной в точке $a = 1$:

$f'(1) = -\frac{1}{2}(1)^{-\frac{3}{2}} + 1 = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения $a = 1$, $f(a) = 2$ и $f'(a) = \frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = 2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

3) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Для функции $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$ и точки $N(1; 1)$, имеем $a = 1$ и $f(a) = 1$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{4}{3}})' = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$.

Вычислим значение производной в точке $a = 1$:

$f'(1) = \frac{4}{3}(1)^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}$.

Подставим найденные значения $a = 1$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x - 1)$

$y = 1 + \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

Ответ: $y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

4) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Для функции $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}$ и точки $N(1; 4)$, имеем $a = 1$ и $f(a) = 4$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}})' = -3x^{-3 - 1} + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} = -3x^{-4} + 2x^{-\frac{1}{3}}$.

Вычислим значение производной в точке $a = 1$:

$f'(1) = -3(1)^{-4} + 2(1)^{-\frac{1}{3}} = -3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -1$.

Подставим найденные значения $a = 1$, $f(a) = 4$ и $f'(a) = -1$ в уравнение касательной:

$y = 4 + (-1)(x - 1)$

$y = 4 - x + 1$

$y = -x + 5$.

Ответ: $y = -x + 5$.