Вопросы, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Назовите виды степенной функции в зависимости от показателя. Приведите примеры.

2. Охарактеризуйте функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$, графики которых расположены на промежутке $[0; +\infty)$.

3. Чем отличаются области определений функций $y = x^{-2,5}$ и $y = x^{2,5}$? Ответ обоснуйте.

1. Степенная функция имеет вид $y = x^p$, где $p$ — заданное действительное число, называемое показателем степени. Свойства и график степенной функции зависят от вида показателя $p$.

а) Показатель $p$ — натуральное четное число, $p = 2n, n \in \mathbb{N}$.

Функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Область значений — $[0; +\infty)$.

Примеры: $y = x^2$ (парабола), $y = x^4$.

б) Показатель $p$ — натуральное нечетное число, $p = 2n-1, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$.

Функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Область значений — $(-\infty; +\infty)$.

Примеры: $y = x^3$ (кубическая парабола), $y = x^5$.

в) Показатель $p$ — целое отрицательное число, $p = -n, n \in \mathbb{N}$.

Функция определена для всех $x \neq 0$. Если $p$ — четное отрицательное (например, $y=x^{-2}$), то функция четная, область значений $(0; +\infty)$. Если $p$ — нечетное отрицательное (например, $y=x^{-1}$), то функция нечетная, область значений $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции называется гиперболой соответствующего порядка.

Примеры: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$, $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

г) Показатель $p$ — положительное действительное нецелое число, $p > 0, p \notin \mathbb{Z}$.

Область определения такой функции, как правило, — промежуток $[0; +\infty)$. Функция возрастает на всей области определения. Область значений — $[0; +\infty)$.

Примеры: $y = x^{1/2} = \sqrt{x}$, $y = x^{2.5} = x^{5/2}$.

д) Показатель $p$ — отрицательное действительное нецелое число, $p < 0, p \notin \mathbb{Z}$.

Область определения — промежуток $(0; +\infty)$, так как основание степени должно быть положительным, и, из-за отрицательного показателя, не равняться нулю. Функция убывает на всей области определения. Область значений — $(0; +\infty)$.

Примеры: $y = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = x^{-\sqrt{2}}$.

Ответ: В зависимости от показателя $p$ степенная функция $y=x^p$ может быть с натуральным, целым отрицательным, дробным или иррациональным показателем. Примеры: $y=x^2$ (натуральный четный показатель), $y=x^3$ (натуральный нечетный), $y=x^{-1}$ (целый отрицательный), $y=\sqrt{x}$ (дробный положительный), $y=x^{-\sqrt{2}}$ (иррациональный отрицательный).

2. Характеристика функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$:

Для функции $y=x^2$:

1. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

4. Монотонность: функция является строго возрастающей на всем промежутке $[0; +\infty)$.

5. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

6. Экстремумы: в точке $x=0$ находится минимум функции, $y_{min}=0$.

7. Выпуклость: график функции выпуклый вниз (вогнутый) на всем промежутке.

Для функции $y=\sqrt{x}$ ($y=x^{1/2}$):

1. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

4. Монотонность: функция является строго возрастающей на всем промежутке $[0; +\infty)$.

5. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

6. Экстремумы: в точке $x=0$ находится минимум функции, $y_{min}=0$.

7. Выпуклость: график функции выпуклый вверх (вогнутый) на промежутке $(0; +\infty)$.

Обе функции на заданном промежутке неотрицательны, возрастают и имеют общие точки $(0;0)$ и $(1;1)$. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$, так как на промежутке $[0; +\infty)$ эти функции являются взаимно обратными.

Ответ: На промежутке $[0; +\infty)$ обе функции, $y=x^2$ и $y=\sqrt{x}$, возрастают от 0 до $+\infty$, имеют минимум в точке $(0,0)$. Основное отличие их графиков в выпуклости: график $y=x^2$ выпуклый вниз, а график $y=\sqrt{x}$ выпуклый вверх. Функции являются взаимно обратными.

3. Области определения функций $y = x^{-3.6}$ и $y = x^{-3.60}$ отличаются из-за различной интерпретации вида показателя степени.

Обоснование:

1. Для функции $y = x^{-3.6}$, показатель $p = -3.6$ представляется в виде обыкновенной несократимой дроби: $p = -3.6 = -\frac{36}{10} = -\frac{18}{5}$. В этом случае функция имеет вид $y=x^{-18/5} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^{18}}}$. Так как знаменатель дроби ($n=5$) является нечетным числом, корень 5-й степени определен для любых действительных значений подкоренного выражения. Выражение $x^{18}$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку степень находится в знаменателе, необходимо исключить значение $x$, при котором знаменатель равен нулю, то есть $x=0$. Таким образом, область определения этой функции: $D_1 = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Для функции $y = x^{-3.60}$, запись показателя с нулем на конце ($-3.60$) может трактоваться как указание на то, что показатель является действительным (возможно, иррациональным) числом, а не конкретной рациональной дробью. По общепринятому соглашению, степенная функция с нецелым действительным показателем $p$ ($y=x^p = e^{p \ln x}$) определяется только для положительных значений основания $x$. Так как показатель $p=-3.60$ отрицателен, основание не может быть равно нулю. Следовательно, область определения этой функции состоит только из положительных чисел: $D_2 = (0; +\infty)$.

Таким образом, различие в записи чисел $-3.6$ и $-3.60$ приводит к разным подходам при определении области допустимых значений $x$.

Ответ: Область определения функции $y = x^{-3.6}$ — это все действительные числа, кроме нуля: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область определения функции $y = x^{-3.60}$ — это только положительные числа: $x \in (0; +\infty)$. Различие основано на том, что показатель $-3.6$ интерпретируется как рациональное число с нечетным знаменателем, допуская отрицательное основание, в то время как показатель $-3.60$ рассматривается как общее действительное число, для которого по определению основание степени должно быть положительным.