Номер 7.7, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.7. 1) $\frac{p - q}{\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}, p \neq q;$

2) $\frac{\sqrt{p^3} + \sqrt{q^3}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} + \sqrt{pq}, p > 0, q > 0;$

3) $\frac{\sqrt{ab^2} - a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}, a > 0, b > 0;$

4) $\frac{\sqrt[3]{a^2 b} - a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}} + \sqrt[3]{a^2}, a \neq 0, b \neq 0.$

1)Для упрощения выражения $\frac{p - q}{\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}$ воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим числитель дроби $p - q$ как разность кубов: $p - q = (\sqrt[3]{p})^3 - (\sqrt[3]{q})^3$.

Применим формулу, где $a = \sqrt[3]{p}$ и $b = \sqrt[3]{q}$:

$p - q = (\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q})((\sqrt[3]{p})^2 + \sqrt[3]{p}\sqrt[3]{q} + (\sqrt[3]{q})^2) = (\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2})$.

Теперь подставим это в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2})}{\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q}}$

Сократим числитель и знаменатель на $(\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q})$, так как по условию $p \neq q$, значит этот множитель не равен нулю:

$\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2}$.

Теперь вернемся к полному выражению и вычтем второй член:

$(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2}) - \sqrt[3]{pq} = \sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{q^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{q^2}$

2)Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{p^3} + \sqrt{q^3}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} + \sqrt{pq}$ воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Числитель дроби можно представить как $(\sqrt{p})^3 + (\sqrt{q})^3$.

Применим формулу, где $a = \sqrt{p}$ и $b = \sqrt{q}$:

$(\sqrt{p})^3 + (\sqrt{q})^3 = (\sqrt{p} + \sqrt{q})((\sqrt{p})^2 - \sqrt{p}\sqrt{q} + (\sqrt{q})^2) = (\sqrt{p} + \sqrt{q})(p - \sqrt{pq} + q)$.

Подставим в дробь:

$\frac{(\sqrt{p} + \sqrt{q})(p - \sqrt{pq} + q)}{\sqrt{p} + \sqrt{q}}$

Сократим на $(\sqrt{p} + \sqrt{q})$, так как по условию $p > 0, q > 0$, знаменатель не равен нулю:

$p - \sqrt{pq} + q$.

Теперь добавим второй член из исходного выражения:

$(p - \sqrt{pq} + q) + \sqrt{pq} = p + q$.

Ответ: $p + q$

3)Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{ab^2} - a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}$.

Упростим дробь, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{\sqrt{ab^2}}{\sqrt{ab}} - \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$

Упростим первую часть: $\frac{\sqrt{ab^2}}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{ab^2}{ab}} = \sqrt{b^2} = b$ (поскольку $b>0$).Стоп, ошибка в вычислении. Правильно будет: $\sqrt{\frac{ab^2}{ab}} = \sqrt{b}$.Упростим вторую часть: $\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a^2}\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a^2b}}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{a^2b}{ab}} = \sqrt{a}$.

Таким образом, дробь равна $\sqrt{b} - \sqrt{a}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt{b} - \sqrt{a}) - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}$.

Упростим $\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2 \cdot b} = b\sqrt{b}$ (поскольку $b>0$).

Выражение принимает вид: $\sqrt{b} - \sqrt{a} - b\sqrt{b} + \sqrt{a}$.

Сокращаем $-\sqrt{a}$ и $+\sqrt{a}$:

$\sqrt{b} - b\sqrt{b}$.

Можно также вынести общий множитель: $\sqrt{b}(1-b)$.

Ответ: $\sqrt{b} - b\sqrt{b}$

4)Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[3]{a^2b} - a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}} + \sqrt[3]{a^2}$.

Упростим дробь, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}} - \frac{a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}}$

Упростим первую часть: $\frac{\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}} = \sqrt[3]{\frac{a^2b}{ab}} = \sqrt[3]{a}$.

Упростим вторую часть, представив $a$ как $\sqrt[3]{a^3}$:

$\frac{\sqrt[3]{a^3}\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}} = \frac{\sqrt[3]{a^3b}}{\sqrt[3]{ab}} = \sqrt[3]{\frac{a^3b}{ab}} = \sqrt[3]{a^2}$.

Таким образом, дробь равна $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2}$.

Теперь подставим это в полное выражение:

$(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2}) + \sqrt[3]{a^2}$.

Сокращаем $-\sqrt[3]{a^2}$ и $+\sqrt[3]{a^2}$:

$\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $\sqrt[3]{a}$