Номер 7.5, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.5. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

1) $\frac{6}{\sqrt{7}-1}$;

2) $\frac{5}{\sqrt{6}+1}$;

3) $\frac{2}{x+\sqrt{a}}$;

4) $\frac{3}{x-\sqrt{a}}$;

5) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$;

6) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;

7) $\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$;

8) $\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{6}{\sqrt{7} - 1} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $ \sqrt{7} - 1 $ является $ \sqrt{7} + 1 $. При умножении этих выражений используется формула разности квадратов: $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{6}{\sqrt{7} - 1} = \frac{6 \cdot (\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7} - 1) \cdot (\sqrt{7} + 1)} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{7 - 1} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{6} = \sqrt{7} + 1 $

Ответ: $ \sqrt{7} + 1 $

2) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{5}{\sqrt{6} + 1} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{6} - 1 $.

$ \frac{5}{\sqrt{6} + 1} = \frac{5 \cdot (\sqrt{6} - 1)}{(\sqrt{6} + 1) \cdot (\sqrt{6} - 1)} = \frac{5(\sqrt{6} - 1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{5(\sqrt{6} - 1)}{6 - 1} = \frac{5(\sqrt{6} - 1)}{5} = \sqrt{6} - 1 $

Ответ: $ \sqrt{6} - 1 $

3) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{2}{x + \sqrt{a}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ x - \sqrt{a} $.

$ \frac{2}{x + \sqrt{a}} = \frac{2 \cdot (x - \sqrt{a})}{(x + \sqrt{a}) \cdot (x - \sqrt{a})} = \frac{2(x - \sqrt{a})}{x^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{2(x - \sqrt{a})}{x^2 - a} $

Ответ: $ \frac{2(x - \sqrt{a})}{x^2 - a} $

4) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{3}{x - \sqrt{a}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ x + \sqrt{a} $.

$ \frac{3}{x - \sqrt{a}} = \frac{3 \cdot (x + \sqrt{a})}{(x - \sqrt{a}) \cdot (x + \sqrt{a})} = \frac{3(x + \sqrt{a})}{x^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{3(x + \sqrt{a})}{x^2 - a} $

Ответ: $ \frac{3(x + \sqrt{a})}{x^2 - a} $

5) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{6} - \sqrt{2} $.

$ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{6 - 2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

6) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{7} + \sqrt{5} $.

$ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = 2(\sqrt{7} + \sqrt{5}) $

Ответ: $ 2(\sqrt{7} + \sqrt{5}) $

7) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{3}{\sqrt{8} - \sqrt{5}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{8} + \sqrt{5} $.

$ \frac{3}{\sqrt{8} - \sqrt{5}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{8} + \sqrt{5})}{(\sqrt{8} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{8} + \sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{8 - 5} = \frac{3(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{3} = \sqrt{8} + \sqrt{5} $

Упростим полученное выражение, представив $ \sqrt{8} $ как $ \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $. Тогда выражение примет вид $ 2\sqrt{2} + \sqrt{5} $.

Ответ: $ 2\sqrt{2} + \sqrt{5} $

8) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ x - \sqrt{2} $. В числителе получится квадрат разности, который раскрывается по формуле $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

$ \frac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} = \frac{(x - \sqrt{2}) \cdot (x - \sqrt{2})}{(x + \sqrt{2}) \cdot (x - \sqrt{2})} = \frac{(x - \sqrt{2})^2}{x^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{x^2 - 2} = \frac{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}{x^2 - 2} $

Ответ: $ \frac{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}{x^2 - 2} $