Номер 6.15, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.15. 1) $\left( \frac{1}{13^{\frac{1}{2}} - 17^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{17^{\frac{1}{2}} + 13^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot 13^{\frac{1}{2}};$

2) $\left( \frac{5}{6^{\frac{1}{2}} + 11} + \frac{5}{6^{\frac{1}{2}} - 11} \right) \cdot 0,1 \cdot 6^{\frac{1}{2}};$

3) $\left( 8 - 28^{\frac{1}{2}} \right)^{-1} + \left( 8 + 28^{\frac{1}{2}} \right)^{-1};$

4) $\left( 6 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \right)^{-1} + \left( 6 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \right)^{-1}.$

1)

Исходное выражение: $(\frac{1}{\frac{1}{13^2} - \frac{1}{17^2}} + \frac{1}{\frac{1}{17^2} + \frac{1}{13^2}}) \cdot 13^{\frac{1}{2}}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Обозначим $x = 13^2$ и $y = 17^2$.

Выражение в скобках принимает вид: $\frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} + \frac{1}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}$.

Упростим каждую дробь отдельно:

$\frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{1}{\frac{y-x}{xy}} = \frac{xy}{y-x}$.

$\frac{1}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+y}{xy}} = \frac{xy}{x+y}$.

Теперь сложим эти две дроби:

$\frac{xy}{y-x} + \frac{xy}{y+x} = xy \cdot (\frac{1}{y-x} + \frac{1}{y+x}) = xy \cdot \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)} = xy \cdot \frac{2y}{y^2-x^2} = \frac{2xy^2}{y^2-x^2}$.

Подставим обратно $x = 13^2$ и $y = 17^2$:

$\frac{2 \cdot 13^2 \cdot (17^2)^2}{(17^2)^2 - (13^2)^2} = \frac{2 \cdot 13^2 \cdot 17^4}{17^4 - 13^4}$.

Теперь умножим результат на $13^{\frac{1}{2}} = \sqrt{13}$:

$\frac{2 \cdot 13^2 \cdot 17^4}{17^4 - 13^4} \cdot \sqrt{13} = \frac{2 \cdot 13^2 \cdot \sqrt{13} \cdot 17^4}{17^4 - 13^4}$.

Вычислим значения степеней:

$13^2 = 169$

$17^2 = 289$

$17^4 = 289^2 = 83521$

$13^4 = 169^2 = 28561$

$17^4 - 13^4 = 83521 - 28561 = 54960$.

Подставим числовые значения в выражение:

$\frac{2 \cdot 169 \cdot 83521}{54960} \cdot \sqrt{13} = \frac{28229098}{54960} \sqrt{13} = \frac{14114549}{27480}\sqrt{13}$.

Ответ: $\frac{14114549}{27480}\sqrt{13}$.

2)

Исходное выражение: $(\frac{5}{\frac{1}{6^2}+11} + \frac{5}{\frac{1}{6^2}-11}) \cdot 0,1 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$.

Сначала упростим выражение в скобках. $6^2 = 36$.

$\frac{5}{\frac{1}{36}+11} + \frac{5}{\frac{1}{36}-11} = \frac{5}{\frac{1+11 \cdot 36}{36}} + \frac{5}{\frac{1-11 \cdot 36}{36}} = \frac{5}{\frac{1+396}{36}} + \frac{5}{\frac{1-396}{36}} = \frac{5 \cdot 36}{397} + \frac{5 \cdot 36}{-395}$.

$\frac{180}{397} - \frac{180}{395} = 180 \cdot (\frac{1}{397} - \frac{1}{395}) = 180 \cdot \frac{395 - 397}{397 \cdot 395} = 180 \cdot \frac{-2}{156815} = \frac{-360}{156815}$.

Сократим дробь на 5: $\frac{-360}{156815} = \frac{-72}{31363}$.

Теперь умножим результат на $0,1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{10} \sqrt{6}$.

$\frac{-72}{31363} \cdot \frac{\sqrt{6}}{10} = \frac{-72\sqrt{6}}{313630} = \frac{-36\sqrt{6}}{156815}$.

Ответ: $\frac{-36\sqrt{6}}{156815}$.

3)

Исходное выражение: $(8-28^{\frac{1}{2}})^{-1} + (8+28^{\frac{1}{2}})^{-1}$.

Упростим $28^{\frac{1}{2}} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Выражение принимает вид: $(8-2\sqrt{7})^{-1} + (8+2\sqrt{7})^{-1}$.

Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$\frac{1}{8-2\sqrt{7}} + \frac{1}{8+2\sqrt{7}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(8-2\sqrt{7})(8+2\sqrt{7})$:

$\frac{(8+2\sqrt{7}) + (8-2\sqrt{7})}{(8-2\sqrt{7})(8+2\sqrt{7})}$.

В числителе $8+2\sqrt{7} + 8-2\sqrt{7} = 16$.

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(8)^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - (4 \cdot 7) = 64 - 28 = 36$.

Получаем дробь $\frac{16}{36}$, которую можно сократить на 4.

$\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

4)

Исходное выражение: $(6+4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1} + (6-4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1}$.

Упростим $4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$.

Выражение принимает вид: $(6+4\sqrt{2})^{-1} + (6-4\sqrt{2})^{-1}$.

Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$\frac{1}{6+4\sqrt{2}} + \frac{1}{6-4\sqrt{2}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})$:

$\frac{(6-4\sqrt{2}) + (6+4\sqrt{2})}{(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})}$.

В числителе $6-4\sqrt{2} + 6+4\sqrt{2} = 12$.

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(6)^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - (16 \cdot 2) = 36 - 32 = 4$.

Получаем дробь $\frac{12}{4}$.

$\frac{12}{4} = 3$.

Ответ: $3$.