Номер 6.8, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

a+b

6.8. 1) $\frac{x^{\frac{1}{2}} - 4}{a^{\frac{1}{4}} - a^{-\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{2}} - 1};$

2) $\frac{\frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}}}};$

3) $\frac{a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}};$

4) $\frac{x^{1.2} - y^{2.1}}{x^{0.8} + x^{0.4}y^{0.7} + y^{1.4}}.$

1) Исходное выражение: $\frac{x^{\frac{2}{3}} - 4}{a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{2}} - 1}$. В числителе содержится переменная $x$, а в знаменателе — переменная $a$. Если предположить, что это не опечатка, то упрощение путем сокращения общих множителей невозможно. Однако можно разложить числитель и знаменатель на множители, чтобы представить выражение в более простом виде.

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$x^{\frac{2}{3}} - 4 = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 2^2 = (x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{1}{3}} + 2)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{2}} - 1$. Перегруппируем слагаемые для удобства: $a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}} - 1$. Сгруппируем их следующим образом: $(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{6}}) + (a^{\frac{1}{3}} - 1)$.

Вынесем общий множитель из первой группы: $a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}} - 1) = a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{2}{6}} - 1) = a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{3}} - 1)$.

Тогда знаменатель равен $a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{3}} - 1) + 1 \cdot (a^{\frac{1}{3}} - 1)$.

Вынесем общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} - 1)$: $(a^{\frac{1}{3}} - 1)(a^{\frac{1}{6}} + 1)$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{1}{3}} + 2)}{(a^{\frac{1}{3}} - 1)(a^{\frac{1}{6}} + 1)}$.

В этом виде дальнейшее упрощение невозможно, так как общие множители в числителе и знаменателе отсутствуют.

Ответ: $\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{1}{3}} + 2)}{(a^{\frac{1}{3}} - 1)(a^{\frac{1}{6}} + 1)}$

2) Исходное выражение: $\frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}} - b}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Обозначим $A = a^{\frac{1}{3}}$ и $B = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $A^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}}$ и $B^2 = (b^{\frac{1}{2}})^2 = b$.

Исходная дробь принимает вид $\frac{A+B}{A^2-B^2}$.

Применим формулу разности квадратов к знаменателю:

$\frac{A+B}{(A-B)(A+B)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(A+B)$ (при условии $A+B \neq 0$):

$\frac{1}{A-B}$.

Теперь подставим обратно исходные выражения для $A$ и $B$:

$\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{2}}}$.

Ответ: $\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{2}}}$

3) Исходное выражение: $\frac{a^{\frac{4}{9}}-b^{\frac{4}{9}}}{a^{\frac{2}{9}}+b^{\frac{2}{9}}}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Обозначим $A = a^{\frac{2}{9}}$ и $B = b^{\frac{2}{9}}$.

Тогда $A^2 = (a^{\frac{2}{9}})^2 = a^{\frac{4}{9}}$ и $B^2 = (b^{\frac{2}{9}})^2 = b^{\frac{4}{9}}$.

Исходная дробь принимает вид $\frac{A^2-B^2}{A+B}$.

Применим формулу разности квадратов к числителю:

$\frac{(A-B)(A+B)}{A+B}$.

Сократим дробь на общий множитель $(A+B)$ (при условии $A+B \neq 0$):

$A-B$.

Подставим обратно исходные выражения для $A$ и $B$:

$a^{\frac{2}{9}} - b^{\frac{2}{9}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{9}} - b^{\frac{2}{9}}$

4) Исходное выражение: $\frac{x^{1.2} - y^{2.1}}{x^{0.8} + x^{0.4}y^{0.7} + y^{1.4}}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.

Обозначим $A = x^{0.4}$ и $B = y^{0.7}$.

Давайте проверим, соответствуют ли числитель и знаменатель этой формуле.

$A^2 = (x^{0.4})^2 = x^{0.8}$

$B^2 = (y^{0.7})^2 = y^{1.4}$

$AB = x^{0.4}y^{0.7}$

Знаменатель $x^{0.8} + x^{0.4}y^{0.7} + y^{1.4}$ в точности соответствует выражению $A^2+AB+B^2$.

Теперь проверим числитель:

$A^3 = (x^{0.4})^3 = x^{1.2}$

$B^3 = (y^{0.7})^3 = y^{2.1}$

Числитель $x^{1.2} - y^{2.1}$ в точности соответствует выражению $A^3-B^3$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2}$.

Применив формулу, получаем:

$\frac{(A-B)(A^2+AB+B^2)}{A^2+AB+B^2} = A-B$.

Подставим обратно исходные выражения для $A$ и $B$:

$x^{0.4} - y^{0.7}$.

Ответ: $x^{0.4} - y^{0.7}$