Номер 6.6, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.6. 1) $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} + 1;$

2) $c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}};$

3) $5 - 5^{\frac{2}{3}};$

4) $x + y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} + 1$, воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}) + (-b^{\frac{1}{3}} + 1)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$, а во второй группе вынесем $-1$, чтобы получить одинаковые скобки:

$a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} - 1) - 1(b^{\frac{1}{3}} - 1)$

Теперь общий множитель $(b^{\frac{1}{3}} - 1)$ можно вынести за скобки:

$(a^{\frac{1}{3}} - 1)(b^{\frac{1}{3}} - 1)$

Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} - 1)(b^{\frac{1}{3}} - 1)$.

2) В выражении $c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}}$ необходимо вынести за скобки общий множитель. Заметим, что показатель степени $\frac{1}{2}$ больше, чем $\frac{1}{4}$, и $c^{\frac{1}{2}} = c^{2 \cdot \frac{1}{4}} = (c^{\frac{1}{4}})^2$.

Перепишем выражение:

$(c^{\frac{1}{4}})^2 + c^{\frac{1}{4}}$

Общим множителем является $c^{\frac{1}{4}}$. Вынесем его за скобки:

$c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$

Ответ: $c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$.

3) В выражении $5 - 5^{\frac{2}{3}}$ представим первое слагаемое как $5^1$.

$5^1 - 5^{\frac{2}{3}}$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $5^{\frac{2}{3}}$:

$5^{\frac{2}{3}} (\frac{5^1}{5^{\frac{2}{3}}} - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}})$

Используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим выражение в скобках:

$5^{\frac{2}{3}}(5^{1 - \frac{2}{3}} - 1) = 5^{\frac{2}{3}}(5^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1) = 5^{\frac{2}{3}}(5^{\frac{1}{3}} - 1)$

Ответ: $5^{\frac{2}{3}}(5^{\frac{1}{3}} - 1)$.

4) Для разложения на множители выражения $x + y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ используем метод группировки. Для удобства переставим слагаемые и сгруппируем их:

$(x + x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$

В первой группе вынесем за скобки $x^{\frac{1}{2}}$, помня, что $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$. Во второй группе вынесем за скобки $y^{\frac{1}{2}}$:

$x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1) + y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} + 1)$, который выносим за скобки:

$(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.