Номер 6.5, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Разложите выражения на множители (6.5–6.6):

6.5. 1) $(bx)^{\frac{1}{3}} + (by)^{\frac{1}{3}};$

2) $b - b^{\frac{1}{2}};$

3) $3 + 3^{\frac{1}{2}};$

4) $(5x)^{\frac{1}{2}} + (3x)^{\frac{1}{2}}.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $(bx)^{\frac{1}{3}} + (by)^{\frac{1}{3}}$, применим свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ к каждому слагаемому. Получим $b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$. В полученном выражении есть общий множитель $b^{\frac{1}{3}}$, который можно вынести за скобки.

$(bx)^{\frac{1}{3}} + (by)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$.

Ответ: $b^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

2) Для разложения на множители выражения $b - b^{\frac{1}{2}}$, представим $b$ как степень с основанием $b^{\frac{1}{2}}$. Так как $b = b^1 = (b^{\frac{1}{2}})^2$, то выражение можно переписать в виде $(b^{\frac{1}{2}})^2 - b^{\frac{1}{2}}$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $b^{\frac{1}{2}}$.

$b - b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{2}})^2 - b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}} - 1)$.

Ответ: $b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}} - 1)$

3) В выражении $3 + 3^{\frac{1}{2}}$ поступим аналогично предыдущему примеру. Представим число $3$ как $3^1 = (3^{\frac{1}{2}})^2$. Тогда выражение примет вид $(3^{\frac{1}{2}})^2 + 3^{\frac{1}{2}}$. Вынесем за скобки общий множитель $3^{\frac{1}{2}}$.

$3 + 3^{\frac{1}{2}} = (3^{\frac{1}{2}})^2 + 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} + 1)$.

Ответ: $3^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{2}} + 1)$

4) Чтобы разложить на множители выражение $(5x)^{\frac{1}{2}} + (3x)^{\frac{1}{2}}$, применим свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$. Получим $5^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$. Общим множителем в данном выражении является $x^{\frac{1}{2}}$. Вынесем его за скобки.

$(5x)^{\frac{1}{2}} + (3x)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(5^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}})$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}(5^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}})$