Номер 6.3, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите значения выражений (6.3—6.4):

6.3. 1) $81^{0.5}$;

2) $(\frac{256}{3^8})^{-\frac{1}{8}}$;

3) $16^{\frac{7}{4}}$;

4) $(\frac{27^3}{125^6})^{\frac{2}{9}}$.

1) Чтобы найти значение выражения $81^{0.5}$, представим десятичную степень в виде обыкновенной дроби: $0.5 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, выражение принимает вид $81^{\frac{1}{2}}$.

Степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня. Также можно представить основание 81 как $9^2$.

$81^{0.5} = 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$.

Или другим способом: $81^{0.5} = (9^2)^{0.5} = 9^{2 \cdot 0.5} = 9^1 = 9$.

Ответ: 9.

2) Для нахождения значения выражения $(\frac{256}{3^8})^{\frac{1}{8}}$, воспользуемся свойством степени $( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$(\frac{256}{3^8})^{\frac{1}{8}} = \frac{256^{\frac{1}{8}}}{(3^8)^{\frac{1}{8}}}$.

Представим число 256 в виде степени. Заметим, что $256 = 2^8$.

Теперь упростим числитель и знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Числитель: $256^{\frac{1}{8}} = (2^8)^{\frac{1}{8}} = 2^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 2^1 = 2$.

Знаменатель: $(3^8)^{\frac{1}{8}} = 3^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 3^1 = 3$.

В результате получаем дробь $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Чтобы найти значение выражения $16^{-\frac{7}{4}}$, используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$16^{-\frac{7}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{7}{4}}}$.

Представим основание 16 как степень числа 2, то есть $16 = 2^4$.

Подставим это в выражение: $\frac{1}{(2^4)^{\frac{7}{4}}}$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $\frac{1}{2^{4 \cdot \frac{7}{4}}} = \frac{1}{2^7}$.

Вычислим $2^7$: $2^7 = 128$.

Итоговое значение: $\frac{1}{128}$.

Ответ: $\frac{1}{128}$.

4) Для нахождения значения выражения $(\frac{27^3}{125^6})^{-\frac{2}{9}}$ сначала избавимся от отрицательного показателя степени, перевернув дробь по свойству $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{27^3}{125^6})^{-\frac{2}{9}} = (\frac{125^6}{27^3})^{\frac{2}{9}}$.

Теперь применим свойство степени к дроби: $(\frac{125^6}{27^3})^{\frac{2}{9}} = \frac{(125^6)^{\frac{2}{9}}}{(27^3)^{\frac{2}{9}}}$.

Представим основания 125 и 27 в виде степеней: $125 = 5^3$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в выражение: $\frac{((5^3)^6)^{\frac{2}{9}}}{((3^3)^3)^{\frac{2}{9}}} = \frac{(5^{18})^{\frac{2}{9}}}{(3^9)^{\frac{2}{9}}}$.

Воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и знаменателя.

Упрощаем числитель: $5^{18 \cdot \frac{2}{9}} = 5^{2 \cdot 2} = 5^4 = 625$.

Упрощаем знаменатель: $3^{9 \cdot \frac{2}{9}} = 3^2 = 9$.

В результате получаем: $\frac{625}{9}$.

Ответ: $\frac{625}{9}$.