Номер 7.1, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{20+\sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{20-\sqrt{57}}$ ;

2) $\sqrt[4]{10-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10+\sqrt{19}}$ ;

3) $\sqrt[4]{9-\sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9+\sqrt{65}}$ ;

4) $-\frac{\sqrt[3]{(4+\sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4-\sqrt{17}}} - \sqrt{17}$.

1) Для решения используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{20+\sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{20-\sqrt{57}} = \sqrt[3]{(20+\sqrt{57})(20-\sqrt{57})}$

В подкоренном выражении применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(20+\sqrt{57})(20-\sqrt{57}) = 20^2 - (\sqrt{57})^2 = 400 - 57 = 343$.

Теперь необходимо извлечь кубический корень:

$\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7$.

Ответ: 7

2) Аналогично первому примеру, воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{10-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10+\sqrt{19}} = \sqrt[4]{(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})}$

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81$.

Извлекаем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3

3) Используем то же свойство произведения корней, что и в предыдущих примерах: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{9-\sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9+\sqrt{65}} = \sqrt[4]{(9-\sqrt{65})(9+\sqrt{65})}$

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(9-\sqrt{65})(9+\sqrt{65}) = 9^2 - (\sqrt{65})^2 = 81 - 65 = 16$.

Извлекаем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: 2

4) Сначала упростим дробь, используя свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[3]{(4+\sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4-\sqrt{17}}} = \sqrt[3]{\frac{(4+\sqrt{17})^2}{4-\sqrt{17}}}$

Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на сопряженное знаменателю выражение $(4+\sqrt{17})$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\frac{(4+\sqrt{17})^2 \cdot (4+\sqrt{17})}{(4-\sqrt{17}) \cdot (4+\sqrt{17})} = \frac{(4+\sqrt{17})^3}{4^2 - (\sqrt{17})^2} = \frac{(4+\sqrt{17})^3}{16 - 17} = \frac{(4+\sqrt{17})^3}{-1} = -(4+\sqrt{17})^3$.

Теперь извлечем кубический корень из полученного выражения:

$\sqrt[3]{-(4+\sqrt{17})^3} = -(4+\sqrt{17})$.

Подставим результат в исходное выражение:

$- \left( -(4+\sqrt{17}) \right) - \sqrt{17} = (4+\sqrt{17}) - \sqrt{17} = 4+\sqrt{17} - \sqrt{17} = 4$.

Ответ: 4