Страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите (7.2–7.4):

7.2. 1) $3\sqrt{8}-5\sqrt{18}+12\sqrt{50}$;

2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt[4]{225}$;

3) $(2\sqrt{2}-3)^2 \cdot \sqrt[4]{8}$;

4) $\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17}+5}$.

1) $3\sqrt{8}-5\sqrt{18}+12\sqrt{50}$

Для решения данного выражения необходимо упростить каждый из корней, вынеся множитель из-под знака корня.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$3 \cdot (2\sqrt{2}) - 5 \cdot (3\sqrt{2}) + 12 \cdot (5\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 15\sqrt{2} + 60\sqrt{2}$

Теперь приведем подобные слагаемые, так как они имеют общий множитель $\sqrt{2}$:

$(6 - 15 + 60)\sqrt{2} = (-9 + 60)\sqrt{2} = 51\sqrt{2}$

Ответ: $51\sqrt{2}$

2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt[4]{225}$

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$

Затем упростим второй множитель:

$\sqrt[4]{225} = \sqrt[4]{15^2} = 15^{2/4} = 15^{1/2} = \sqrt{15}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(8 - 2\sqrt{15}) \cdot \sqrt{15} = 8\sqrt{15} - 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = 8\sqrt{15} - 2 \cdot 15 = 8\sqrt{15} - 30$

Ответ: $8\sqrt{15} - 30$

3) $(2\sqrt{2}-3)^2 \cdot \sqrt[6]{8}$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2\sqrt{2}-3)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 4 \cdot 2 - 12\sqrt{2} + 9 = 8 - 12\sqrt{2} + 9 = 17 - 12\sqrt{2}$

Упростим второй множитель:

$\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$

Перемножим полученные выражения:

$(17 - 12\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 17\sqrt{2} - 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 17\sqrt{2} - 12 \cdot 2 = 17\sqrt{2} - 24$

Ответ: $17\sqrt{2} - 24$

4) $\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17}+5}$

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17})}$

Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17}) = 5^2 - (\sqrt{17})^2 = 25 - 17 = 8$

Подставим результат под знак корня:

$\sqrt[3]{8} = 2$

Ответ: $2$

7.3. 1) $\sqrt[3]{7-\sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{22}}$ ;

2) $\frac{1}{4+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4-2\sqrt{3}}$ ;

3) $\frac{3}{6-2\sqrt{6}}+\frac{3}{6+2\sqrt{6}}$ ;

4) $\sqrt{3}+2+\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ .

1)Для решения данного примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{7-\sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{22}} = \sqrt[3]{(7-\sqrt{22})(7+\sqrt{22})}$

Выражение под корнем является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=\sqrt{22}$.

$\sqrt[3]{7^2 - (\sqrt{22})^2} = \sqrt[3]{49 - 22} = \sqrt[3]{27}$

Вычисляем кубический корень из 27.

$\sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3

2)Чтобы сложить две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей $(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})$.

$\frac{1}{4+2\sqrt{3}} + \frac{1}{4-2\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (4-2\sqrt{3})}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} + \frac{1 \cdot (4+2\sqrt{3})}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})}$

Сложим числители:

$\frac{4-2\sqrt{3} + 4+2\sqrt{3}}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} = \frac{8}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})}$

Знаменатель является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=4$ и $b=2\sqrt{3}$.

$4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$

Подставим значение знаменателя в дробь:

$\frac{8}{4} = 2$

Ответ: 2

3)Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей $(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})$.

$\frac{3}{6-2\sqrt{6}} + \frac{3}{6+2\sqrt{6}} = \frac{3(6+2\sqrt{6}) + 3(6-2\sqrt{6})}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18+6\sqrt{6} + 18-6\sqrt{6}}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})} = \frac{36}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})}$

Знаменатель является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=6$ и $b=2\sqrt{6}$.

$6^2 - (2\sqrt{6})^2 = 36 - (4 \cdot 6) = 36 - 24 = 12$

Подставим значение знаменателя в дробь:

$\frac{36}{12} = 3$

Ответ: 3

4)Упростим последнее слагаемое $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2-\sqrt{3}$.

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$

Теперь подставим полученное выражение в исходный пример:

$\sqrt{3}+2+(2-\sqrt{3})$

Сгруппируем и сложим слагаемые:

$(\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (2+2) = 0 + 4 = 4$

Ответ: 4

7.4. 1) $(\sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} + 4\sqrt{1,5}) \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}}$;

2) $(\sqrt{0,75} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} - \sqrt{6,75}) \cdot \sqrt{3}$;

3) $(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{4,5}) \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$;

4) $(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.

1) Чтобы решить это выражение, раскроем скобки, умножив каждый член внутри них на $2\sqrt{\frac{2}{3}}$.

$(\sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} + 4\sqrt{1,5}) \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} + 4\sqrt{1,5} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}}$

Теперь вычислим значение каждого слагаемого по очереди, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

Первое слагаемое: $2\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2\sqrt{1} = 2$.

Второе слагаемое: $-3 \cdot 2\sqrt{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = -6\sqrt{\frac{6}{24}} = -6\sqrt{\frac{1}{4}} = -6 \cdot \frac{1}{2} = -3$.

Третье слагаемое, представив $1,5$ в виде дроби $\frac{3}{2}$: $4\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} = 8\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 8\sqrt{1} = 8$.

Сложим полученные значения: $2 - 3 + 8 = 7$.

Ответ: $7$.

2) Раскроем скобки, умножив каждый член в них на $\sqrt{3}$.

$(\sqrt{0,75} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} - \sqrt{6,75}) \cdot \sqrt{3} = \sqrt{0,75} \cdot \sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{6,75} \cdot \sqrt{3}$

Вычислим каждое слагаемое:

$\sqrt{0,75 \cdot 3} = \sqrt{2,25} = 1,5$.

$3\sqrt{\frac{1}{27} \cdot 3} = 3\sqrt{\frac{3}{27}} = 3\sqrt{\frac{1}{9}} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

$\sqrt{6,75 \cdot 3} = \sqrt{20,25} = 4,5$.

Теперь выполним сложение и вычитание полученных результатов: $1,5 + 1 - 4,5 = 2,5 - 4,5 = -2$.

Ответ: $-2$.

3) Сначала преобразуем смешанную дробь и десятичную дробь в неправильные: $3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ и $4,5 = \frac{9}{2}$. Затем раскроем скобки.

$(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{\frac{9}{2}}) \cdot \sqrt[3]{\frac{15}{4}} = \sqrt[3]{\frac{1}{6} \cdot \frac{15}{4}} - \sqrt[3]{36 \cdot \frac{15}{4}} + \sqrt[3]{\frac{9}{2} \cdot \frac{15}{4}}$

Упростим каждое слагаемое, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

Первое слагаемое: $\sqrt[3]{\frac{15}{24}} = \sqrt[3]{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2}$.

Второе слагаемое: $-\sqrt[3]{\frac{36 \cdot 15}{4}} = -\sqrt[3]{9 \cdot 15} = -\sqrt[3]{135} = -\sqrt[3]{27 \cdot 5} = -3\sqrt[3]{5}$.

Третье слагаемое: $\sqrt[3]{\frac{9 \cdot 15}{2 \cdot 4}} = \sqrt[3]{\frac{135}{8}} = \frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3\sqrt[3]{5}}{2}$.

Сложим полученные выражения: $\frac{\sqrt[3]{5}}{2} - 3\sqrt[3]{5} + \frac{3\sqrt[3]{5}}{2} = (\frac{1}{2} - 3 + \frac{3}{2})\sqrt[3]{5} = (\frac{4}{2} - 3)\sqrt[3]{5} = (2-3)\sqrt[3]{5} = -\sqrt[3]{5}$.

Ответ: $-\sqrt[3]{5}$.

4) Применим распределительный закон, умножив каждый член в скобках на $\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.

$(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{125}{27} \cdot \frac{5}{3}} - \sqrt[4]{375 \cdot \frac{5}{3}} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

Вычислим по очереди каждый член выражения:

Первый член: $\sqrt[4]{\frac{125 \cdot 5}{27 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{5^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{5}{3}$.

Второй член: $-\sqrt[4]{375 \cdot \frac{5}{3}} = -\sqrt[4]{125 \cdot 5} = -\sqrt[4]{625} = -5$.

Третий член: $-\frac{\sqrt[4]{5/3}}{\sqrt[4]{135}} = -\sqrt[4]{\frac{5/3}{135}} = -\sqrt[4]{\frac{5}{3 \cdot 135}} = -\sqrt[4]{\frac{5}{405}} = -\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = -\frac{1}{3}$.

Сложим полученные результаты: $\frac{5}{3} - 5 - \frac{1}{3} = (\frac{5}{3} - \frac{1}{3}) - 5 = \frac{4}{3} - 5 = \frac{4}{3} - \frac{15}{3} = \frac{4-15}{3} = -\frac{11}{3}$.

Ответ: $-\frac{11}{3}$.

7.5. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

1) $\frac{6}{\sqrt{7}-1}$;

2) $\frac{5}{\sqrt{6}+1}$;

3) $\frac{2}{x+\sqrt{a}}$;

4) $\frac{3}{x-\sqrt{a}}$;

5) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$;

6) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;

7) $\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$;

8) $\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{6}{\sqrt{7} - 1} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $ \sqrt{7} - 1 $ является $ \sqrt{7} + 1 $. При умножении этих выражений используется формула разности квадратов: $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{6}{\sqrt{7} - 1} = \frac{6 \cdot (\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7} - 1) \cdot (\sqrt{7} + 1)} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{7 - 1} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{6} = \sqrt{7} + 1 $

Ответ: $ \sqrt{7} + 1 $

2) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{5}{\sqrt{6} + 1} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{6} - 1 $.

$ \frac{5}{\sqrt{6} + 1} = \frac{5 \cdot (\sqrt{6} - 1)}{(\sqrt{6} + 1) \cdot (\sqrt{6} - 1)} = \frac{5(\sqrt{6} - 1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{5(\sqrt{6} - 1)}{6 - 1} = \frac{5(\sqrt{6} - 1)}{5} = \sqrt{6} - 1 $

Ответ: $ \sqrt{6} - 1 $

3) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{2}{x + \sqrt{a}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ x - \sqrt{a} $.

$ \frac{2}{x + \sqrt{a}} = \frac{2 \cdot (x - \sqrt{a})}{(x + \sqrt{a}) \cdot (x - \sqrt{a})} = \frac{2(x - \sqrt{a})}{x^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{2(x - \sqrt{a})}{x^2 - a} $

Ответ: $ \frac{2(x - \sqrt{a})}{x^2 - a} $

4) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{3}{x - \sqrt{a}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ x + \sqrt{a} $.

$ \frac{3}{x - \sqrt{a}} = \frac{3 \cdot (x + \sqrt{a})}{(x - \sqrt{a}) \cdot (x + \sqrt{a})} = \frac{3(x + \sqrt{a})}{x^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{3(x + \sqrt{a})}{x^2 - a} $

Ответ: $ \frac{3(x + \sqrt{a})}{x^2 - a} $

5) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{6} - \sqrt{2} $.

$ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{6 - 2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

6) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{7} + \sqrt{5} $.

$ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = 2(\sqrt{7} + \sqrt{5}) $

Ответ: $ 2(\sqrt{7} + \sqrt{5}) $

7) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{3}{\sqrt{8} - \sqrt{5}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{8} + \sqrt{5} $.

$ \frac{3}{\sqrt{8} - \sqrt{5}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{8} + \sqrt{5})}{(\sqrt{8} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{8} + \sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{8 - 5} = \frac{3(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{3} = \sqrt{8} + \sqrt{5} $

Упростим полученное выражение, представив $ \sqrt{8} $ как $ \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $. Тогда выражение примет вид $ 2\sqrt{2} + \sqrt{5} $.

Ответ: $ 2\sqrt{2} + \sqrt{5} $

8) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} $ на сопряженное к знаменателю выражение $ x - \sqrt{2} $. В числителе получится квадрат разности, который раскрывается по формуле $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

$ \frac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} = \frac{(x - \sqrt{2}) \cdot (x - \sqrt{2})}{(x + \sqrt{2}) \cdot (x - \sqrt{2})} = \frac{(x - \sqrt{2})^2}{x^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{x^2 - 2} = \frac{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}{x^2 - 2} $

Ответ: $ \frac{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}{x^2 - 2} $

Упростите (7.6—7.7):

7.6. 1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a} - 1} - \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}) \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a} - 1}$;

2) $\frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} : \frac{\sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} - 1} + \sqrt{x}$;

3) $(\frac{1}{a + \sqrt{a}\sqrt{b}} + \frac{1}{a - \sqrt{a}\sqrt{b}}) \cdot \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$;

4) $\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} : \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}}$;

7.6. 1)

Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$. Общим знаменателем будет $(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}$.

$\left( \frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}} \right) = \frac{1 \cdot \sqrt{a} - (\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}$

В числителе применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1) = (\sqrt[4]{a})^2 - 1^2 = \sqrt{a}-1$.

Подставим это в числитель дроби:

$\sqrt{a} - (\sqrt{a}-1) = \sqrt{a}-\sqrt{a}+1=1$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}$.

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:

$\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}-1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)(\sqrt[4]{a}-1)} = \frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$.

Ответ: $\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$.

7.6. 2)

Упростим выражение по действиям слева направо.

1. Упростим первую дробь $\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$. Используем формулу разности квадратов для числителя $x-1 = (\sqrt{x})^2-1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$:

$\frac{x-1}{\sqrt{x}+1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}-1$.

2. Упростим вторую дробь $\frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-1}$. Используем формулу разности квадратов для знаменателя $\sqrt[3]{x^2}-1 = (\sqrt[3]{x})^2-1 = (\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x}+1)$:

$\frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-1} = \frac{\sqrt[3]{x}+1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x}+1)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное. Деление и умножение выполняются последовательно:

$(\sqrt{x}-1) : \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} + \sqrt{x}$.

Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

$(\sqrt{x}-1) \cdot (\sqrt[3]{x}-1) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} + \sqrt{x}$.

Сокращаем множитель $(\sqrt[3]{x}-1)$:

$(\sqrt{x}-1) + \sqrt{x}$.

4. Выполняем сложение:

$\sqrt{x}-1 + \sqrt{x} = 2\sqrt{x}-1$.

Ответ: $2\sqrt{x}-1$.

7.6. 3)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a+\sqrt{ab})(a-\sqrt{ab})$.

По формуле разности квадратов, знаменатель равен $a^2 - (\sqrt{ab})^2 = a^2 - ab = a(a-b)$.

$\frac{1}{a+\sqrt{ab}} + \frac{1}{a-\sqrt{ab}} = \frac{(a-\sqrt{ab}) + (a+\sqrt{ab})}{(a+\sqrt{ab})(a-\sqrt{ab})} = \frac{2a}{a^2-ab} = \frac{2a}{a(a-b)} = \frac{2}{a-b}$.

Теперь упростим второй множитель $\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$, используя формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} = a-b$.

Наконец, перемножим полученные упрощенные выражения:

$\frac{2}{a-b} \cdot (a-b) = 2$.

Ответ: $2$.

7.6. 4)

Рассмотрим выражение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.

$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{x^2-\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} \cdot (x^2-\sqrt{x})$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби и выражение $(x^2-\sqrt{x})$.

1. $x\sqrt{x}+x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)$.

2. $x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)$. Выражение $x\sqrt{x}-1$ можно представить как разность кубов: $(\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2+\sqrt{x}\cdot1+1^2) = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Таким образом, $x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Сократим общие множители $\sqrt{x}$ и $(x+\sqrt{x}+1)$ в числителе и знаменателе:

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(\sqrt{x})^2-1^2 = x-1$.

Ответ: $x-1$.

7.7. 1) $\frac{p - q}{\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}, p \neq q;$

2) $\frac{\sqrt{p^3} + \sqrt{q^3}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} + \sqrt{pq}, p > 0, q > 0;$

3) $\frac{\sqrt{ab^2} - a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}, a > 0, b > 0;$

4) $\frac{\sqrt[3]{a^2 b} - a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}} + \sqrt[3]{a^2}, a \neq 0, b \neq 0.$

1)Для упрощения выражения $\frac{p - q}{\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}$ воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим числитель дроби $p - q$ как разность кубов: $p - q = (\sqrt[3]{p})^3 - (\sqrt[3]{q})^3$.

Применим формулу, где $a = \sqrt[3]{p}$ и $b = \sqrt[3]{q}$:

$p - q = (\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q})((\sqrt[3]{p})^2 + \sqrt[3]{p}\sqrt[3]{q} + (\sqrt[3]{q})^2) = (\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2})$.

Теперь подставим это в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2})}{\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q}}$

Сократим числитель и знаменатель на $(\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q})$, так как по условию $p \neq q$, значит этот множитель не равен нулю:

$\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2}$.

Теперь вернемся к полному выражению и вычтем второй член:

$(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2}) - \sqrt[3]{pq} = \sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{q^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{q^2}$

2)Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{p^3} + \sqrt{q^3}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} + \sqrt{pq}$ воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Числитель дроби можно представить как $(\sqrt{p})^3 + (\sqrt{q})^3$.

Применим формулу, где $a = \sqrt{p}$ и $b = \sqrt{q}$:

$(\sqrt{p})^3 + (\sqrt{q})^3 = (\sqrt{p} + \sqrt{q})((\sqrt{p})^2 - \sqrt{p}\sqrt{q} + (\sqrt{q})^2) = (\sqrt{p} + \sqrt{q})(p - \sqrt{pq} + q)$.

Подставим в дробь:

$\frac{(\sqrt{p} + \sqrt{q})(p - \sqrt{pq} + q)}{\sqrt{p} + \sqrt{q}}$

Сократим на $(\sqrt{p} + \sqrt{q})$, так как по условию $p > 0, q > 0$, знаменатель не равен нулю:

$p - \sqrt{pq} + q$.

Теперь добавим второй член из исходного выражения:

$(p - \sqrt{pq} + q) + \sqrt{pq} = p + q$.

Ответ: $p + q$

3)Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{ab^2} - a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}$.

Упростим дробь, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{\sqrt{ab^2}}{\sqrt{ab}} - \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$

Упростим первую часть: $\frac{\sqrt{ab^2}}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{ab^2}{ab}} = \sqrt{b^2} = b$ (поскольку $b>0$).Стоп, ошибка в вычислении. Правильно будет: $\sqrt{\frac{ab^2}{ab}} = \sqrt{b}$.Упростим вторую часть: $\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a^2}\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a^2b}}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{a^2b}{ab}} = \sqrt{a}$.

Таким образом, дробь равна $\sqrt{b} - \sqrt{a}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt{b} - \sqrt{a}) - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}$.

Упростим $\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2 \cdot b} = b\sqrt{b}$ (поскольку $b>0$).

Выражение принимает вид: $\sqrt{b} - \sqrt{a} - b\sqrt{b} + \sqrt{a}$.

Сокращаем $-\sqrt{a}$ и $+\sqrt{a}$:

$\sqrt{b} - b\sqrt{b}$.

Можно также вынести общий множитель: $\sqrt{b}(1-b)$.

Ответ: $\sqrt{b} - b\sqrt{b}$

4)Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[3]{a^2b} - a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}} + \sqrt[3]{a^2}$.

Упростим дробь, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}} - \frac{a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}}$

Упростим первую часть: $\frac{\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}} = \sqrt[3]{\frac{a^2b}{ab}} = \sqrt[3]{a}$.

Упростим вторую часть, представив $a$ как $\sqrt[3]{a^3}$:

$\frac{\sqrt[3]{a^3}\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}} = \frac{\sqrt[3]{a^3b}}{\sqrt[3]{ab}} = \sqrt[3]{\frac{a^3b}{ab}} = \sqrt[3]{a^2}$.

Таким образом, дробь равна $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2}$.

Теперь подставим это в полное выражение:

$(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2}) + \sqrt[3]{a^2}$.

Сокращаем $-\sqrt[3]{a^2}$ и $+\sqrt[3]{a^2}$:

$\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $\sqrt[3]{a}$