Страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.8. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

1) $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}}$

2) $\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}$

3) $-\frac{7}{\sqrt{5} - 2\sqrt{3}}$

4) $\frac{15}{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}$

5) $\frac{6}{2 - \sqrt[3]{2}}$

6) $\frac{32}{3 + \sqrt[3]{5}}$

7) $\frac{1 - b}{\sqrt{1 - \sqrt{b}}}$, $0 < b < 1$

8) $\frac{1 - a}{\sqrt{1 + \sqrt{a}}}$, $a > 0$

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}}$, умножим ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением к $2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$ является $2\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$. Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2\sqrt{3} - 4\sqrt{2})}{(2\sqrt{3} + 4\sqrt{2})(2\sqrt{3} - 4\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{6} - 4\sqrt{2}\sqrt{2}}{(2\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{6} - 4 \cdot 2}{4 \cdot 3 - 16 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{6} - 8}{12 - 32} = \frac{2(\sqrt{6} - 4)}{-20} = \frac{\sqrt{6} - 4}{-10} = \frac{4 - \sqrt{6}}{10}$.

Ответ: $\frac{4 - \sqrt{6}}{10}$.

2) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $4\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$.

$\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(4\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{(4\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 2\sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sqrt{3}}{(4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{4\sqrt{6} + 2 \cdot 3}{16 \cdot 2 - 4 \cdot 3} = \frac{4\sqrt{6} + 6}{32 - 12} = \frac{4\sqrt{6} + 6}{20} = \frac{2(2\sqrt{6} + 3)}{20} = \frac{2\sqrt{6} + 3}{10}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{6} + 3}{10}$.

3) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{7}{\sqrt{5} - 2\sqrt{3}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$.

$-\frac{7}{\sqrt{5} - 2\sqrt{3}} = -\frac{7(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})}{(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})} = -\frac{7(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2} = -\frac{7(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})}{5 - 4 \cdot 3} = -\frac{7(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})}{5 - 12} = -\frac{7(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})}{-7} = \sqrt{5} + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$.

4) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{15}{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $3\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

$\frac{15}{3\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{15(3\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{3})(3\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{15(3\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{15(3\sqrt{2} + \sqrt{3})}{9 \cdot 2 - 3} = \frac{15(3\sqrt{2} + \sqrt{3})}{18 - 3} = \frac{15(3\sqrt{2} + \sqrt{3})}{15} = 3\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

5) Чтобы избавиться от кубического корня в знаменателе вида $a-b$, используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы $2^2 + 2\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2$.

$\frac{6}{2 - \sqrt[3]{2}} = \frac{6(2^2 + 2\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2)}{(2 - \sqrt[3]{2})(2^2 + 2\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2)} = \frac{6(4 + 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{2^3 - (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{6(4 + 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{8 - 2} = \frac{6(4 + 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{6} = 4 + 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $4 + 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$.

6) Чтобы избавиться от кубического корня в знаменателе вида $a+b$, используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности $3^2 - 3\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2$.

$\frac{32}{3 + \sqrt[3]{5}} = \frac{32(3^2 - 3\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2)}{(3 + \sqrt[3]{5})(3^2 - 3\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2)} = \frac{32(9 - 3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{3^3 + (\sqrt[3]{5})^3} = \frac{32(9 - 3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{27 + 5} = \frac{32(9 - 3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{32} = 9 - 3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25}$.

Ответ: $9 - 3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25}$.

7) Условие $0 < b < 1$ гарантирует, что подкоренное выражение $1-b$ положительно. Представим числитель $1-b$ в виде $(\sqrt{1-b})^2$.

$\frac{1-b}{\sqrt{1-b}} = \frac{(\sqrt{1-b})^2}{\sqrt{1-b}} = \sqrt{1-b}$.

Другой способ — умножить числитель и знаменатель на $\sqrt{1-b}$:

$\frac{1-b}{\sqrt{1-b}} = \frac{(1-b)\sqrt{1-b}}{\sqrt{1-b}\sqrt{1-b}} = \frac{(1-b)\sqrt{1-b}}{1-b} = \sqrt{1-b}$.

Ответ: $\sqrt{1-b}$.

8) Условие $a > 0$ гарантирует, что все подкоренные выражения определены и положительны. Разложим числитель $1-a$ по формуле разности квадратов: $1-a = (1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})$.

$\frac{1-a}{\sqrt{1+\sqrt{a}}} = \frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}$.

Так как $1+\sqrt{a} = (\sqrt{1+\sqrt{a}})^2$, можем сократить дробь:

$\frac{(1-\sqrt{a})(\sqrt{1+\sqrt{a}})^2}{\sqrt{1+\sqrt{a}}} = (1-\sqrt{a})\sqrt{1+\sqrt{a}}$.

Ответ: $(1-\sqrt{a})\sqrt{1+\sqrt{a}}$.

7.9. Упростите:

1) $ (1 + \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}) : (1 - \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}); $

2) $ \left((a - b) \cdot \sqrt{\frac{a + b}{a - b}} + a - b\right)\left(\sqrt{\frac{a + b}{a - b}} - 1\right). $

1) Запишем деление в виде дроби и преобразуем его. Для этого сначала приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $\sqrt{a+b}$:

$\left(1 + \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right) : \left(1 - \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right) = \frac{1 + \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}}{1 - \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}} = \frac{\frac{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}}{\frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}}$.

После сокращения дроби получим:

$\frac{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})$:

$\frac{(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})}{(\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})} = \frac{(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})^2}{(\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a-b})^2}$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности квадратов:

$\frac{(a+b) + 2\sqrt{(a+b)(a-b)} + (a-b)}{(a+b) - (a-b)} = \frac{2a + 2\sqrt{a^2-b^2}}{2b} = \frac{2(a + \sqrt{a^2-b^2})}{2b} = \frac{a + \sqrt{a^2-b^2}}{b}$.

Ответ: $\frac{a + \sqrt{a^2-b^2}}{b}$.

2) В первом множителе вынесем за скобки общий множитель $(a-b)$:

$\left((a-b)\cdot\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + a-b\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}-1\right) = (a-b)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + 1\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}-1\right)$.

Произведение второго и третьего множителей является разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:

$\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + 1\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}-1\right) = \left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\right)^2 - 1^2 = \frac{a+b}{a-b} - 1$.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$\frac{a+b}{a-b} - 1 = \frac{a+b - (a-b)}{a-b} = \frac{a+b-a+b}{a-b} = \frac{2b}{a-b}$.

Теперь умножим полученный результат на первый множитель $(a-b)$:

$(a-b) \cdot \frac{2b}{a-b} = 2b$.

Ответ: $2b$.