Номер 18.9, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.9. 1) $2^{x^2+2x-8} - 8 \cdot 2^x > 0;$

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2} > 5^{-x};$

3) $2^{x^2+12} < 64 \cdot 2^{5x};$

4) $8 \cdot 2^{x^2-3x} < (0,5)^{-1}.$

1) Исходное неравенство: $2^{x^2+2x-8} - 8 \cdot 2^{x} > 0$.Перенесем второе слагаемое в правую часть неравенства:$2^{x^2+2x-8} > 8 \cdot 2^{x}$.Представим число 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.$2^{x^2+2x-8} > 2^3 \cdot 2^{x}$.Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим правую часть:$2^{x^2+2x-8} > 2^{x+3}$.Так как основание степени $2 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:$x^2+2x-8 > x+3$.Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:$x^2 + 2x - x - 8 - 3 > 0$$x^2 + x - 11 > 0$.Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 11 = 0$.Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 1 + 44 = 45$.Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.Графиком функции $y=x^2+x-11$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, выражение $x^2 + x - 11$ положительно при значениях $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.Ответ: $x \in (-\infty; \frac{-1 - 3\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $(\frac{1}{5})^{x^2} > 5^{5x}$.Приведем обе части неравенства к одному основанию 5. Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, получаем:$(5^{-1})^{x^2} > 5^{5x}$.По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$ упростим левую часть:$5^{-x^2} > 5^{5x}$.Так как основание степени $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:$-x^2 > 5x$.Перенесем все в правую часть:$0 > x^2 + 5x$, что эквивалентно $x^2 + 5x < 0$.Разложим левую часть на множители:$x(x+5) < 0$.Корнями уравнения $x(x+5)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=-5$.Графиком функции $y=x^2+5x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.Ответ: $x \in (-5; 0)$.

3) Исходное неравенство: $2^{x^2+12} < 64 \cdot 2^{5x}$.Приведем обе части к основанию 2. Число $64 = 2^6$.$2^{x^2+12} < 2^6 \cdot 2^{5x}$.Упростим правую часть по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$2^{x^2+12} < 2^{6+5x}$.Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:$x^2+12 < 6+5x$.Перенесем все члены в левую часть:$x^2 - 5x + 12 - 6 < 0$$x^2 - 5x + 6 < 0$.Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение 6, значит корни $x_1=2$ и $x_2=3$.Графиком $y=x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.Ответ: $x \in (2; 3)$.

4) Исходное неравенство: $8 \cdot 2^{x^2-3x} < (0,5)^{-1}$.Приведем все части неравенства к основанию 2.$8 = 2^3$.$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, значит $(0,5)^{-1} = (2^{-1})^{-1} = 2^1 = 2$.Подставим эти значения в неравенство:$2^3 \cdot 2^{x^2-3x} < 2^1$.Упростим левую часть по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$2^{3 + x^2-3x} < 2^1$.Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:$x^2 - 3x + 3 < 1$.Перенесем 1 в левую часть:$x^2 - 3x + 2 < 0$.Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение 2, значит корни $x_1=1$ и $x_2=2$.Графиком $y=x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.Ответ: $x \in (1; 2)$.