Номер 18.12, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Глава V. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Параграф 18. Показательные неравенства - номер 18.12, страница 116.

Условие.

18.12. 1) $4^{x+2} + 8 < 9 \cdot 2^{x+2};$

2) $3^{1+\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} < 12;$

3) $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 < 4 \cdot 2^{1-x} - 6;$

4) $4^{x+2} - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0.$

Решение 2 (rus).

1) Исходное неравенство: $4^{x+2} + 8 < 9 \cdot 2^{x+2}$.

Преобразуем левую часть, заметив, что $4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = 2^{2(x+2)} = (2^{x+2})^2$.

Перенесем все члены в одну сторону: $(2^{x+2})^2 - 9 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{x+2}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получим квадратное неравенство относительно $t$: $t^2 - 9t + 8 < 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Графиком функции $y = t^2 - 9t + 8$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство выполняется для значений $t$ между корнями: $1 < t < 8$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $1 < 2^{x+2} < 8$.

Представим 1 и 8 как степени двойки: $2^0 < 2^{x+2} < 2^3$.

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^z$ возрастающая, поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки: $0 < x+2 < 3$.

Вычтем 2 из всех частей двойного неравенства: $0 - 2 < x < 3 - 2$, что дает $-2 < x < 1$.

Ответ: $(-2; 1)$.

2) Исходное неравенство: $3^{1+\frac{1}{x}} + 3^{1-\frac{1}{x}} \leq 12$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется знаменателем: $x \neq 0$.

Используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m a^n$ и $a^{m-n}=a^m/a^n$, преобразуем неравенство: $3 \cdot 3^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot 3^{-\frac{1}{x}} \leq 12$.

Разделим обе части неравенства на 3: $3^{\frac{1}{x}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{x}}} \leq 4$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{\frac{1}{x}}$. Учитывая, что $3^z > 0$ для любого $z$, имеем $t > 0$.

Неравенство примет вид: $t + \frac{1}{t} \leq 4$.

Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$, не меняя знака неравенства: $t^2 + 1 \leq 4t$.

Перенесем все в одну сторону: $t^2 - 4t + 1 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 4t + 1 = 0$ через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. Корни: $t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Решение квадратного неравенства находится между корнями: $2 - \sqrt{3} \leq t \leq 2 + \sqrt{3}$.

Выполним обратную замену: $2 - \sqrt{3} \leq 3^{\frac{1}{x}} \leq 2 + \sqrt{3}$.

Прологарифмируем все части по основанию 3. Так как основание $3>1$, знаки неравенства сохраняются: $\log_3(2 - \sqrt{3}) \leq \frac{1}{x} \leq \log_3(2 + \sqrt{3})$.

Заметим, что $2 - \sqrt{3} = \frac{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}} = \frac{4-3}{2+\sqrt{3}} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$. Поэтому $\log_3(2 - \sqrt{3}) = \log_3((2+\sqrt{3})^{-1}) = -\log_3(2+\sqrt{3})$.

Обозначим $A = \log_3(2 + \sqrt{3})$. Тогда неравенство примет вид: $-A \leq \frac{1}{x} \leq A$. Заметим, что $2+\sqrt{3} > 3$, поэтому $A > \log_3(3)=1$, то есть $A > 0$.

Неравенство $-A \leq \frac{1}{x} \leq A$ равносильно $|\frac{1}{x}| \leq A$, или $\frac{1}{|x|} \leq A$.

Так как $|x| > 0$ и $A > 0$, это равносильно $|x| \geq \frac{1}{A}$.

Решением последнего неравенства является объединение $x \geq \frac{1}{A}$ и $x \leq -\frac{1}{A}$.

Подставляем $A = \log_3(2+\sqrt{3})$ и используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$: $x \geq \log_{2+\sqrt{3}}3$ или $x \leq -\log_{2+\sqrt{3}}3$.

Ответ: $(-\infty; -\log_{2+\sqrt{3}}3] \cup [\log_{2+\sqrt{3}}3; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 < 4 \cdot 2^{1-x} - 6$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые: $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 \cdot 2^{1-x} - 4 + 6 < 0$, что упрощается до $4^{1-x} - 3 \cdot 2^{1-x} + 2 < 0$.

Так как $4^{1-x} = (2^2)^{1-x} = (2^{1-x})^2$, сделаем замену $t = 2^{1-x}$, где $t > 0$.

Получим квадратное неравенство: $t^2 - 3t + 2 < 0$.

Корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$ по теореме Виета равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Решение неравенства для $t$: $1 < t < 2$.

Возвращаемся к переменной $x$: $1 < 2^{1-x} < 2$.

Представим 1 и 2 как степени двойки: $2^0 < 2^{1-x} < 2^1$.

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $0 < 1-x < 1$.

Решим это двойное неравенство. Из $0 < 1-x$ следует $x < 1$. Из $1-x < 1$ следует $-x < 0$, то есть $x > 0$.

Объединяя оба условия, получаем $0 < x < 1$.

Ответ: $(0; 1)$.

4) Исходное неравенство: $4^{x+2} - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$.

Заметим, что $4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = (2^{x+2})^2$.

Сделаем замену переменной $t = 2^{x+2}$. Условие на замену: $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t^2 - 6t + 8 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета, $t_1=2$ и $t_2=4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства находится между корнями: $2 < t < 4$.

Сделаем обратную замену: $2 < 2^{x+2} < 4$.

Представим 2 и 4 в виде степеней двойки: $2^1 < 2^{x+2} < 2^2$.

Так как основание $2 > 1$, перейдем к неравенству для показателей: $1 < x+2 < 2$.

Вычтем 2 из всех частей неравенства: $1 - 2 < x < 2 - 2$.

Получаем: $-1 < x < 0$.

Ответ: $(-1; 0)$.