Номер 18.8, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите неравенства (18.8–18.13):

18.8. 1) $2^{\frac{x+1}{x-2}} > 4;$

2) $0,125 < 16^x;$

3) $36^{0,5x^2-1} > \left(\frac{1}{6}\right)^{-2};$

4) $125\left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2} < \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}.$

1) Исходное неравенство: $2^{\frac{x+1}{x-2}} > 4$.

Представим число 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

Получим неравенство: $2^{\frac{x+1}{x-2}} > 2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\frac{x+1}{x-2} > 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+1}{x-2} - 2 > 0$

$\frac{x+1 - 2(x-2)}{x-2} > 0$

$\frac{x+1 - 2x + 4}{x-2} > 0$

$\frac{5-x}{x-2} > 0$.

Чтобы избавиться от минуса при $x$ в числителе, умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x-5}{x-2} < 0$.

Решим полученное дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x-5=0 \implies x=5$; $x-2=0 \implies x=2$.

Нанесем эти точки на числовую ось, они разделят ее на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{x-5}{x-2}$ в каждом интервале.

- При $x \in (5; +\infty)$, например $x=6$: $\frac{6-5}{6-2} = \frac{1}{4} > 0$.

- При $x \in (2; 5)$, например $x=3$: $\frac{3-5}{3-2} = \frac{-2}{1} < 0$.

- При $x \in (-\infty; 2)$, например $x=0$: $\frac{0-5}{0-2} = \frac{5}{2} > 0$.

Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это интервал $(2; 5)$.

Ответ: $(2; 5)$.

2) Исходное неравенство: $0,125 < 16^x$.

Представим обе части неравенства в виде степеней с одним основанием, например 2.

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

$16 = 2^4$, следовательно, $16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$.

Неравенство принимает вид: $2^{-3} < 2^{4x}$.

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$-3 < 4x$.

Разделим обе части на 4:

$x > -\frac{3}{4}$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $36^{0,5x^2 - 1} > (\frac{1}{6})^{-2}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 6.

Левая часть: $36^{0,5x^2 - 1} = (6^2)^{0,5x^2 - 1} = 6^{2(0,5x^2 - 1)} = 6^{x^2 - 2}$.

Правая часть: $(\frac{1}{6})^{-2} = (6^{-1})^{-2} = 6^{(-1) \cdot (-2)} = 6^2$.

Неравенство принимает вид: $6^{x^2 - 2} > 6^2$.

Так как основание $6 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2 > 2$

$x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) > 0$.

Это квадратное неравенство. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=-2$ и $x=2$. Значения функции положительны при $x$ левее -2 и правее 2.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $125(\frac{1}{5})^{3x^2} < (\frac{1}{25})^{-4x}$.

Приведем все множители к степеням с основанием 5.

$125 = 5^3$.

$(\frac{1}{5})^{3x^2} = (5^{-1})^{3x^2} = 5^{-3x^2}$.

$(\frac{1}{25})^{-4x} = (5^{-2})^{-4x} = 5^{(-2)(-4x)} = 5^{8x}$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$5^3 \cdot 5^{-3x^2} < 5^{8x}$.

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ левая часть равна $5^{3-3x^2}$.

Неравенство принимает вид: $5^{3-3x^2} < 5^{8x}$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется для показателей:

$3 - 3x^2 < 8x$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$0 < 3x^2 + 8x - 3$.

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 8x - 3 = 0$, чтобы найти его корни.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}$.

$x_1 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

$x_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Неравенство $3x^2 + 8x - 3 > 0$ можно записать как $3(x - (-3))(x - \frac{1}{3}) > 0$, то есть $3(x+3)(x-\frac{1}{3}) > 0$.

Графиком функции $y=3x^2+8x-3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Следовательно, $x < -3$ или $x > \frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.