Номер 18.4, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.4. 1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} < 9;$

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} < 26;$

3) $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} < 315;$

4) $2^{x} - 2^{x-4} > 15.$

1) Решим неравенство $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} < 9$.

Для решения вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{x-2}$.

$2^{x-2} \cdot (2^4 - 2^3 + 2^1 - 2^0) < 9$

Выполним вычисления в скобках:

$2^{x-2} \cdot (16 - 8 + 2 - 1) < 9$

$2^{x-2} \cdot 9 < 9$

Разделим обе части неравенства на 9 (знак неравенства не меняется, так как 9 > 0):

$2^{x-2} < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 2: $1 = 2^0$.

$2^{x-2} < 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x - 2 < 0$

$x < 2$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) Решим неравенство $(\frac{1}{5})^{x+1} + (\frac{1}{5})^{x-1} < 26$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $(\frac{1}{5})^{x-1}$.

$(\frac{1}{5})^{x-1} \cdot ((\frac{1}{5})^2 + 1) < 26$

Выполним вычисления в скобках:

$(\frac{1}{5})^{x-1} \cdot (\frac{1}{25} + 1) < 26$

$(\frac{1}{5})^{x-1} \cdot \frac{26}{25} < 26$

Умножим обе части неравенства на $\frac{25}{26}$ (знак неравенства не меняется, так как $\frac{25}{26} > 0$):

$(\frac{1}{5})^{x-1} < 25$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{5}$. Учтем, что $25 = 5^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$.

$(\frac{1}{5})^{x-1} < (\frac{1}{5})^{-2}$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{5})^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 1 > -2$

$x > -1$

Решением неравенства является интервал $(-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

3) Решим неравенство $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} < 315$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{2x-4}$.

$3^{2x-4} \cdot (3^3 + 3^2 - 1) < 315$

Выполним вычисления в скобках:

$3^{2x-4} \cdot (27 + 9 - 1) < 315$

$3^{2x-4} \cdot 35 < 315$

Разделим обе части неравенства на 35 (знак неравенства не меняется):

$3^{2x-4} < \frac{315}{35}$

$3^{2x-4} < 9$

Представим 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

$3^{2x-4} < 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохранив знак:

$2x - 4 < 2$

$2x < 6$

$x < 3$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

4) Решим неравенство $2^x - 2^{x-4} > 15$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{x-4}$.

$2^{x-4} \cdot (2^4 - 1) > 15$

Выполним вычисления в скобках:

$2^{x-4} \cdot (16 - 1) > 15$

$2^{x-4} \cdot 15 > 15$

Разделим обе части неравенства на 15:

$2^{x-4} > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 2: $1 = 2^0$.

$2^{x-4} > 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x - 4 > 0$

$x > 4$

Решением неравенства является интервал $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.