Номер 18.7, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.7. 1) $3^{x+1} > 11^{x+1}$;

2) $2^x < 5^x$;

3) $4^{x-2} < 7^{x-2}$;

4) $6^{x^2-4} > 13^{x^2-4}$.

1) Дано неравенство $3^{x+1} > 11^{x+1}$.

Разделим обе части неравенства на $11^{x+1}$. Так как $11^{x+1} > 0$ для любого действительного значения $x$, знак неравенства при делении не изменится:

$\frac{3^{x+1}}{11^{x+1}} > \frac{11^{x+1}}{11^{x+1}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{3}{11})^{x+1} > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{11}$, зная, что любое число в степени 0 равно 1:

$(\frac{3}{11})^{x+1} > (\frac{3}{11})^0$

Мы получили показательное неравенство. Так как основание степени $a = \frac{3}{11}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, соответствующая показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение показателя. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x+1 < 0$

$x < -1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

2) Дано неравенство $2^x < 5^x$.

Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного значения $x$, знак неравенства не изменится:

$\frac{2^x}{5^x} < \frac{5^x}{5^x}$

$(\frac{2}{5})^x < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{2}{5}$:

$(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^0$

Основание степени $a = \frac{2}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$x > 0$

Решением неравенства является интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) Дано неравенство $4^{x-2} < 7^{x-2}$.

Разделим обе части неравенства на $7^{x-2}$. Так как $7^{x-2} > 0$ для любого действительного значения $x$, знак неравенства не изменится:

$\frac{4^{x-2}}{7^{x-2}} < \frac{7^{x-2}}{7^{x-2}}$

$(\frac{4}{7})^{x-2} < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{4}{7}$:

$(\frac{4}{7})^{x-2} < (\frac{4}{7})^0$

Так как основание степени $a = \frac{4}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x-2 > 0$

$x > 2$

Решением неравенства является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) Дано неравенство $6^{x^2-4} > 13^{x^2-4}$.

Разделим обе части неравенства на $13^{x^2-4}$. Так как $13^{x^2-4} > 0$ для любого действительного значения $x$, знак неравенства не изменится:

$\frac{6^{x^2-4}}{13^{x^2-4}} > \frac{13^{x^2-4}}{13^{x^2-4}}$

$(\frac{6}{13})^{x^2-4} > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{6}{13}$:

$(\frac{6}{13})^{x^2-4} > (\frac{6}{13})^0$

Основание степени $a = \frac{6}{13}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2-4 < 0$

Это квадратное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. На числовой оси эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Поскольку парабола $y=x^2-4$ направлена ветвями вверх, отрицательные значения она принимает между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-2 < x < 2$.

Решением неравенства является интервал $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.