Вопросы, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Используются ли свойства логарифма при решении логарифмических неравенств?

2. Какие способы применяются при решении логарифмических неравенств?

3. Зависит ли решение логарифмического неравенства от основания логарифмической функции? Ответ обоснуйте.

1. Используются ли свойства логарифма при решении логарифмических неравенств?

Да, свойства логарифма являются ключевым инструментом при решении логарифмических неравенств. Они используются для преобразования и упрощения неравенств, чтобы привести их к одному из стандартных видов, например, к неравенству вида $log_a(f(x)) \lor log_a(g(x))$, где $\lor$ — один из знаков $>, <, \ge, \le$.

Основные свойства, которые применяются:

1. Сложение и вычитание логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$ и $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$. Это позволяет объединить несколько логарифмических членов в один.

2. Вынесение показателя степени из-под знака логарифма: $p \cdot log_a(b) = log_a(b^p)$. Это свойство используется для преобразования коэффициентов перед логарифмами.

3. Формула перехода к новому основанию: $log_a(b) = \frac{log_c(b)}{log_c(a)}$. Она применяется, когда в неравенстве встречаются логарифмы с разными основаниями, чтобы привести их к одному основанию.

Важно помнить, что применение этих свойств может изменять область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства, поэтому необходимо тщательно следить за всеми ограничениями ($аргумент > 0$, $основание > 0$ и $основание \ne 1$).

Ответ: Да, свойства логарифма активно используются для упрощения и приведения логарифмических неравенств к стандартному виду, удобному для решения.

2. Какие способы применяются при решении логарифмических неравенств?

Существует несколько основных способов (методов) решения логарифмических неравенств:

1. Метод равносильных преобразований (метод потенцирования). Это основной метод, который заключается в переходе от логарифмического неравенства к рациональному неравенству или системе неравенств. Переход основан на монотонности логарифмической функции. Неравенство вида $log_a(f(x)) > log_a(g(x))$ заменяется равносильной системой с учетом области допустимых значений (ОДЗ) и значения основания $a$.

2. Метод введения новой переменной (метод замены). Этот способ эффективен, когда неравенство содержит повторяющееся логарифмическое выражение. Например, для неравенства вида $A \cdot (log_a(x))^2 + B \cdot log_a(x) + C > 0$ вводится замена $t = log_a(x)$, после чего решается более простое алгебраическое неравенство (в данном случае квадратное) относительно переменной $t$. Затем выполняется обратная замена и решаются простейшие логарифмические неравенства.

3. Обобщенный метод интервалов. Этот метод применяется для сложных неравенств, которые можно привести к виду $F(x) > 0$ (или $<, \ge, \le$). Алгоритм включает следующие шаги:

• Найти область допустимых значений (ОДЗ) функции $F(x)$.
• Найти нули функции, решив уравнение $F(x)=0$.
• Нанести ОДЗ и нули функции на числовую ось.
• Определить знаки функции $F(x)$ на каждом из полученных интервалов.
• Выбрать интервалы, удовлетворяющие знаку неравенства, и записать ответ с учетом ОДЗ.

Ответ: Основными способами решения логарифмических неравенств являются метод равносильных преобразований (потенцирование), метод введения новой переменной, обобщенный метод интервалов и функционально-графический метод.

3. Зависит ли решение логарифмического неравенства от основания логарифмической функции? Ответ обоснуйте.

Да, решение логарифмического неравенства принципиально зависит от основания логарифма. Обоснование этого факта заключается в свойстве монотонности логарифмической функции $y = log_a(x)$.

Существует два случая:

1. Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов знак неравенства сохраняется.

Например, неравенство $log_a(f(x)) > log_a(g(x))$ при $a > 1$ равносильно системе: $ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $ (условие $f(x) > 0$ выполняется автоматически, так как $f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$).

2. Если основание $0 < a < 1$, то логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

Например, неравенство $log_a(f(x)) > log_a(g(x))$ при $0 < a < 1$ равносильно системе: $ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $ (условие $g(x) > 0$ выполняется автоматически, так как $g(x) > f(x)$ и $f(x) > 0$).

Таким образом, значение основания логарифма напрямую определяет, сохранится ли знак неравенства при переходе к аргументам или изменится на противоположный, что коренным образом влияет на итоговое решение.

Ответ: Да, зависит. Если основание логарифма больше 1, то при потенцировании знак неравенства сохраняется; если основание находится в интервале от 0 до 1, то знак неравенства меняется на противоположный. Это связано со свойством монотонности логарифмической функции.