Страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Используются ли свойства логарифма при решении логарифмических неравенств?

2. Какие способы применяются при решении логарифмических неравенств?

3. Зависит ли решение логарифмического неравенства от основания логарифмической функции? Ответ обоснуйте.

1. Используются ли свойства логарифма при решении логарифмических неравенств?

Да, свойства логарифма являются ключевым инструментом при решении логарифмических неравенств. Они используются для преобразования и упрощения неравенств, чтобы привести их к одному из стандартных видов, например, к неравенству вида $log_a(f(x)) \lor log_a(g(x))$, где $\lor$ — один из знаков $>, <, \ge, \le$.

Основные свойства, которые применяются:

1. Сложение и вычитание логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$ и $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$. Это позволяет объединить несколько логарифмических членов в один.

2. Вынесение показателя степени из-под знака логарифма: $p \cdot log_a(b) = log_a(b^p)$. Это свойство используется для преобразования коэффициентов перед логарифмами.

3. Формула перехода к новому основанию: $log_a(b) = \frac{log_c(b)}{log_c(a)}$. Она применяется, когда в неравенстве встречаются логарифмы с разными основаниями, чтобы привести их к одному основанию.

Важно помнить, что применение этих свойств может изменять область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства, поэтому необходимо тщательно следить за всеми ограничениями ($аргумент > 0$, $основание > 0$ и $основание \ne 1$).

Ответ: Да, свойства логарифма активно используются для упрощения и приведения логарифмических неравенств к стандартному виду, удобному для решения.

2. Какие способы применяются при решении логарифмических неравенств?

Существует несколько основных способов (методов) решения логарифмических неравенств:

1. Метод равносильных преобразований (метод потенцирования). Это основной метод, который заключается в переходе от логарифмического неравенства к рациональному неравенству или системе неравенств. Переход основан на монотонности логарифмической функции. Неравенство вида $log_a(f(x)) > log_a(g(x))$ заменяется равносильной системой с учетом области допустимых значений (ОДЗ) и значения основания $a$.

2. Метод введения новой переменной (метод замены). Этот способ эффективен, когда неравенство содержит повторяющееся логарифмическое выражение. Например, для неравенства вида $A \cdot (log_a(x))^2 + B \cdot log_a(x) + C > 0$ вводится замена $t = log_a(x)$, после чего решается более простое алгебраическое неравенство (в данном случае квадратное) относительно переменной $t$. Затем выполняется обратная замена и решаются простейшие логарифмические неравенства.

3. Обобщенный метод интервалов. Этот метод применяется для сложных неравенств, которые можно привести к виду $F(x) > 0$ (или $<, \ge, \le$). Алгоритм включает следующие шаги:

• Найти область допустимых значений (ОДЗ) функции $F(x)$.
• Найти нули функции, решив уравнение $F(x)=0$.
• Нанести ОДЗ и нули функции на числовую ось.
• Определить знаки функции $F(x)$ на каждом из полученных интервалов.
• Выбрать интервалы, удовлетворяющие знаку неравенства, и записать ответ с учетом ОДЗ.

Ответ: Основными способами решения логарифмических неравенств являются метод равносильных преобразований (потенцирование), метод введения новой переменной, обобщенный метод интервалов и функционально-графический метод.

3. Зависит ли решение логарифмического неравенства от основания логарифмической функции? Ответ обоснуйте.

Да, решение логарифмического неравенства принципиально зависит от основания логарифма. Обоснование этого факта заключается в свойстве монотонности логарифмической функции $y = log_a(x)$.

Существует два случая:

1. Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов знак неравенства сохраняется.

Например, неравенство $log_a(f(x)) > log_a(g(x))$ при $a > 1$ равносильно системе: $ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $ (условие $f(x) > 0$ выполняется автоматически, так как $f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$).

2. Если основание $0 < a < 1$, то логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

Например, неравенство $log_a(f(x)) > log_a(g(x))$ при $0 < a < 1$ равносильно системе: $ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $ (условие $g(x) > 0$ выполняется автоматически, так как $g(x) > f(x)$ и $f(x) > 0$).

Таким образом, значение основания логарифма напрямую определяет, сохранится ли знак неравенства при переходе к аргументам или изменится на противоположный, что коренным образом влияет на итоговое решение.

Ответ: Да, зависит. Если основание логарифма больше 1, то при потенцировании знак неравенства сохраняется; если основание находится в интервале от 0 до 1, то знак неравенства меняется на противоположный. Это связано со свойством монотонности логарифмической функции.

Решите неравенства (19.1–19.5):

19.1. 1) $log_4 x > 2$;

2) $log_{1/2} x < -3$;

3) $lg x > -2$;

4) $ln x < 1$.

1) Исходное неравенство: $\log_4 x > 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Теперь решим само неравенство. Представим число 2 в виде логарифма с основанием 4:

$2 = 2 \cdot \log_4 4 = \log_4 (4^2) = \log_4 16$.

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_4 x > \log_4 16$.

Так как основание логарифма $a=4$ больше единицы ($4 > 1$), логарифмическая функция $y = \log_4 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$x > 16$.

Полученное решение $x > 16$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (16; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} x < -3$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим число -3 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:

$-3 = -3 \cdot \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}} (2^3) = \log_{\frac{1}{2}} 8$.

Подставим в неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} 8$.

Так как основание логарифма $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 8$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $\lg x > -2$.

Выражение $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим число -2 в виде десятичного логарифма:

$-2 = \lg(10^{-2}) = \lg(0.01)$.

Неравенство принимает вид:

$\lg x > \lg(0.01)$.

Основание десятичного логарифма $a=10$ больше единицы ($10 > 1$), поэтому функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$x > 0.01$.

Решение $x > 0.01$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (0.01; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $\ln x < 1$.

Выражение $\ln x$ обозначает натуральный логарифм, то есть $\log_e x$, где $e \approx 2.718$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим число 1 в виде натурального логарифма:

$1 = \ln(e^1) = \ln e$.

Неравенство принимает вид:

$\ln x < \ln e$.

Основание натурального логарифма $e$ больше единицы ($e > 1$), поэтому функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$x < e$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Объединяем полученное решение $x < e$ с условием $x > 0$:

$0 < x < e$.

Ответ: $x \in (0; e)$.

19.2. 1) $log_6(4x + 1) < 1$;

2) $log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > -1$;

3) $log_{0.4}(x + 0.6) < 1$;

4) $log_{0.2}(7 - x) > -1.$

1) Решим неравенство $\log_6(4x + 1) < 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$4x + 1 > 0$

$4x > -1$

$x > -1/4$

$x > -0.25$

Теперь решим само неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 6:

$1 = \log_6(6^1) = \log_6(6)$

Неравенство принимает вид:

$\log_6(4x + 1) < \log_6(6)$

Так как основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$4x + 1 < 6$

$4x < 6 - 1$

$4x < 5$

$x < 5/4$

$x < 1.25$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x > -0.25 \\ x < 1.25 \end{cases}$

Решением системы является пересечение интервалов, то есть $x \in (-0.25; 1.25)$.

Ответ: $x \in (-0.25; 1.25)$.

2) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > -1$.

Найдем ОДЗ:

$3 - 2x > 0$

$3 > 2x$

$x < 3/2$

$x < 1.5$

Представим -1 как логарифм по основанию $1/3$:

$-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > \log_{\frac{1}{3}}(3)$

Так как основание логарифма $a = 1/3$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3 - 2x < 3$

$-2x < 0$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства снова меняется:

$x > 0$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x < 1.5 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является интервал $x \in (0; 1.5)$.

Ответ: $x \in (0; 1.5)$.

3) Решим неравенство $\log_{0.4}(x + 0.6) < 1$.

Найдем ОДЗ:

$x + 0.6 > 0$

$x > -0.6$

Представим 1 как логарифм по основанию 0.4:

$1 = \log_{0.4}(0.4^1) = \log_{0.4}(0.4)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.4}(x + 0.6) < \log_{0.4}(0.4)$

Так как основание логарифма $a = 0.4$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 0.6 > 0.4$

$x > 0.4 - 0.6$

$x > -0.2$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x > -0.6 \\ x > -0.2 \end{cases}$

Решением системы является более сильное неравенство $x > -0.2$, то есть интервал $x \in (-0.2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-0.2; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\log_{0.2}(7 - x) > -1$.

Найдем ОДЗ:

$7 - x > 0$

$7 > x$

$x < 7$

Представим -1 как логарифм по основанию 0.2:

$-1 = \log_{0.2}(0.2^{-1}) = \log_{0.2}((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{0.2}(5)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.2}(7 - x) > \log_{0.2}(5)$

Так как основание логарифма $a = 0.2$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$7 - x < 5$

$-x < 5 - 7$

$-x < -2$

При делении на -1 знак неравенства снова меняется:

$x > 2$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x < 7 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $x \in (2; 7)$.

Ответ: $x \in (2; 7)$.

19.3. 1) $\log_5(3x + 2) > \log_5(x - 1);$

2) $\log_{0.8}(6x - 2) > \log_{0.8}(x + 5);$

3) $\lg(2x - 1) < \lg(3x + 2);$

4) $\ln(4 - 2x) < \ln(x + 3).$

1) $\log_5(3x + 2) > \log_5(x - 1)$

Это логарифмическое неравенство вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$.

Основание логарифма $a = 5$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_5 t$ является возрастающей. Следовательно, неравенство для аргументов будет иметь тот же знак: $f(x) > g(x)$.

Кроме того, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Таким образом, мы приходим к системе неравенств:

$\begin{cases} 3x + 2 > x - 1 \\ 3x + 2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

$\begin{cases} 3x - x > -1 - 2 \\ 3x > -2 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > -3 \\ x > -2/3 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1.5 \\ x > -2/3 \\ x > 1 \end{cases}$

Найдем пересечение полученных решений. Наиболее строгим является неравенство $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $\log_{0.8}(6x - 2) > \log_{0.8}(x + 5)$

Это логарифмическое неравенство вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$.

Основание логарифма $a = 0.8$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0.8} t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $f(x) < g(x)$.

Учтем ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 6x - 2 < x + 5 \\ 6x - 2 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 6x - x < 5 + 2 \\ 6x > 2 \\ x > -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x < 7 \\ x > 2/6 \\ x > -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 7/5 \\ x > 1/3 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $1/3 < x < 7/5$.

Ответ: $x \in (1/3; 7/5)$.

3) $\lg(2x - 1) < \lg(3x + 2)$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. $\lg(x) = \log_{10}(x)$.

Основание логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства для аргументов сохраняется.

С учетом ОДЗ (аргументы должны быть положительными) составляем систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 1 < 3x + 2 \\ 2x - 1 > 0 \\ 3x + 2 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} -1 - 2 < 3x - 2x \\ 2x > 1 \\ 3x > -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3 < x \\ x > 1/2 \\ x > -2/3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > 0.5 \\ x > -2/3 \end{cases}$

Пересечением этих решений является $x > 1/2$.

Ответ: $x \in (1/2; +\infty)$.

4) $\ln(4 - 2x) < \ln(x + 3)$

Здесь $\ln$ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e$. $\ln(x) = \log_e(x)$.

Основание $a = e \approx 2.718$. Так как $e > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства для аргументов сохраняется.

Необходимо учесть ОДЗ, чтобы аргументы логарифмов были положительными. Составляем систему:

$\begin{cases} 4 - 2x < x + 3 \\ 4 - 2x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 4 - 3 < x + 2x \\ 4 > 2x \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 < 3x \\ 2 > x \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1/3 \\ x < 2 \\ x > -3 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем двойное неравенство $1/3 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1/3; 2)$.

19.4. 1) $\text{log}_{0.4} (2x - 5) > \text{log}_{0.4} (x + 1)$;

2) $\text{log}_4 (3x - 1) < \text{log}_4 (2x + 3)$;

3) $\text{log}_3 \frac{2 - 3x}{x} > -1$;

4) $\text{log}_{\frac{1}{2}} (3x - 4) < \text{log}_{\frac{1}{2}} (x - 2)$.

1) $ \log_{0,4}(2x - 5) > \log_{0,4}(x + 1) $

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Так как основание логарифма $0,4 < 1$, то при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где оба подлогарифмических выражения должны быть строго больше нуля.

Составим систему:

$ \begin{cases} 2x - 5 < x + 1 \\ 2x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 2x - x < 1 + 5 \implies x < 6 $

2. $ 2x > 5 \implies x > 2,5 $

3. $ x > -1 $

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:

$ \begin{cases} x < 6 \\ x > 2,5 \\ x > -1 \end{cases} \implies 2,5 < x < 6 $

Решением неравенства является интервал $ (2,5; 6) $.

Ответ: $ x \in (2,5; 6) $

2) $ \log_{4}(3x - 1) < \log_{4}(2x + 3) $

Основание логарифма $4 > 1$, поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется. Учтем ОДЗ.

Составим систему:

$ \begin{cases} 3x - 1 < 2x + 3 \\ 3x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 3x - 2x < 3 + 1 \implies x < 4 $

2. $ 3x > 1 \implies x > \frac{1}{3} $

3. $ 2x > -3 \implies x > -1,5 $

Найдем пересечение решений:

$ \begin{cases} x < 4 \\ x > \frac{1}{3} \\ x > -1,5 \end{cases} \implies \frac{1}{3} < x < 4 $

Решением неравенства является интервал $ (\frac{1}{3}; 4) $.

Ответ: $ x \in (\frac{1}{3}; 4) $

3) $ \log_{3}\frac{2 - 3x}{x} > -1 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \frac{2 - 3x}{x} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ 2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3} $. Нуль знаменателя: $ x = 0 $. На числовой прямой отмечаем точки 0 и $ \frac{2}{3} $. Интервалы: $ (-\infty; 0) $, $ (0; \frac{2}{3}) $, $ (\frac{2}{3}; +\infty) $. Проверяем знаки: минус, плюс, минус. Нам нужен интервал, где выражение больше нуля, то есть $ 0 < x < \frac{2}{3} $.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$ -1 = \log_{3}(3^{-1}) = \log_{3}\frac{1}{3} $

Получаем неравенство:

$ \log_{3}\frac{2 - 3x}{x} > \log_{3}\frac{1}{3} $

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$ \frac{2 - 3x}{x} > \frac{1}{3} $

$ \frac{2 - 3x}{x} - \frac{1}{3} > 0 $

$ \frac{3(2 - 3x) - x}{3x} > 0 $

$ \frac{6 - 9x - x}{3x} > 0 $

$ \frac{6 - 10x}{3x} > 0 $

Решаем методом интервалов. Нули: $ 6 - 10x = 0 \implies x = 0,6 $; $ 3x = 0 \implies x = 0 $. Интервалы: $ (-\infty; 0) $, $ (0; 0,6) $, $ (0,6; +\infty) $. Знаки: минус, плюс, минус. Решение: $ 0 < x < 0,6 $.

Найдем пересечение решения $ 0 < x < 0,6 $ с ОДЗ $ 0 < x < \frac{2}{3} $. Так как $ 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $ и $ \frac{2}{3} = \frac{10}{15} $, а $ \frac{3}{5} = \frac{9}{15} $, то $ 0,6 < \frac{2}{3} $. Пересечением является интервал $ (0; 0,6) $.

Ответ: $ x \in (0; 0,6) $

4) $ \log_{\frac{1}{2}}(3x - 4) < \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) $

Основание логарифма $ \frac{1}{2} < 1 $, поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Составим систему:

$ \begin{cases} 3x - 4 > x - 2 \\ 3x - 4 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 3x - x > 4 - 2 \implies 2x > 2 \implies x > 1 $

2. $ 3x > 4 \implies x > \frac{4}{3} $

3. $ x > 2 $

Найдем пересечение решений. Неравенство $ x > 2 $ является самым сильным.

$ \begin{cases} x > 1 \\ x > \frac{4}{3} \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2 $

Решением неравенства является интервал $ (2; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (2; +\infty) $

19.5. 1) $log_{1/3}(x + 4) > log_{1/3}(x^2 + 2x - 2);$

2) $1 + log_2(x - 2) > log_2(x^2 - 3x + 2);$

3) $lg(x - 2) + lg(27 - x) < 2;$

4) $lg(2x - 3) > lg(x + 1).$

1) $\log_{\frac{1}{3}}(x + 4) > \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 2x - 2)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x^2 + 2x - 2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -4$.

Для второго неравенства $x^2 + 2x - 2 > 0$ найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$.

$D = 2^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$, $\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

$x_1 = \frac{-2 - 2\sqrt{3}}{2} = -1 - \sqrt{3}$.

$x_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{2} = -1 + \sqrt{3}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $x^2 + 2x - 2 > 0$ есть $x \in (-\infty; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Пересекая с условием $x > -4$, получаем ОДЗ: $x \in (-4; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 4 < x^2 + 2x - 2$

$x^2 + x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Решение неравенства $x^2 + x - 6 > 0$: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.

ОДЗ: $x \in (-4; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$. (Учтем, что $-1 - \sqrt{3} \approx -2.73$ и $-1 + \sqrt{3} \approx 0.73$).

Решение: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Пересечение интервала $(-\infty; -3)$ с ОДЗ дает $(-4; -3)$.

Пересечение интервала $(2; +\infty)$ с ОДЗ дает $(2; +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty)$.

2) $1 + \log_2(x - 2) > \log_2(x^2 - 3x + 2)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства $x > 2$.

Второе неравенство $x^2 - 3x + 2 > 0$ можно разложить на множители: $(x - 1)(x - 2) > 0$. Решением является $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Пересекая оба условия ($x > 2$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$), получаем ОДЗ: $x > 2$.

Преобразуем исходное неравенство. Представим $1$ как $\log_2(2)$:

$\log_2(2) + \log_2(x - 2) > \log_2(x^2 - 3x + 2)$

$\log_2(2(x - 2)) > \log_2(x^2 - 3x + 2)$

$\log_2(2x - 4) > \log_2(x^2 - 3x + 2)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$2x - 4 > x^2 - 3x + 2$

$x^2 - 5x + 6 < 0$

Разложим на множители: $(x - 2)(x - 3) < 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (2; 3)$.

С учетом ОДЗ ($x > 2$), решение $x \in (2; 3)$ полностью входит в область допустимых значений.

Ответ: $x \in (2; 3)$.

3) $\lg(x - 2) + \lg(27 - x) < 2$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 27 - x > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x > 2 \\ x < 27 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (2; 27)$.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов. $\lg$ - это логарифм по основанию 10.

$\lg((x - 2)(27 - x)) < 2$

Представим $2$ как $\lg(10^2) = \lg(100)$.

$\lg((x - 2)(27 - x)) < \lg(100)$

Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$(x - 2)(27 - x) < 100$

$27x - x^2 - 54 + 2x < 100$

$-x^2 + 29x - 54 - 100 < 0$

$-x^2 + 29x - 154 < 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 29x + 154 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 29x + 154 = 0$.

$D = (-29)^2 - 4(1)(154) = 841 - 616 = 225$, $\sqrt{D} = 15$.

$x_1 = \frac{29 - 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{29 + 15}{2} = \frac{44}{2} = 22$.

Решение неравенства $x^2 - 29x + 154 > 0$: $x \in (-\infty; 7) \cup (22; +\infty)$.

Пересечем полученное решение с ОДЗ $x \in (2; 27)$.

Пересечение $(-\infty; 7) \cup (22; +\infty)$ с $(2; 27)$ дает $(2; 7) \cup (22; 27)$.

Ответ: $x \in (2; 7) \cup (22; 27)$.

4) $\lg(2x - 3) > \lg(x + 1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x > 3 \\ x > -1 \end{cases}$

$\begin{cases} x > 1.5 \\ x > -1 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 1.5$.

Решим неравенство. Так как основание логарифма $10 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 > x + 1$

$2x - x > 1 + 3$

$x > 4$

Сравним полученное решение с ОДЗ.

Решение $x > 4$ полностью удовлетворяет условию ОДЗ $x > 1.5$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.