Номер 19.3, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.3. 1) $\log_5(3x + 2) > \log_5(x - 1);$

2) $\log_{0.8}(6x - 2) > \log_{0.8}(x + 5);$

3) $\lg(2x - 1) < \lg(3x + 2);$

4) $\ln(4 - 2x) < \ln(x + 3).$

1) $\log_5(3x + 2) > \log_5(x - 1)$

Это логарифмическое неравенство вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$.

Основание логарифма $a = 5$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_5 t$ является возрастающей. Следовательно, неравенство для аргументов будет иметь тот же знак: $f(x) > g(x)$.

Кроме того, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Таким образом, мы приходим к системе неравенств:

$\begin{cases} 3x + 2 > x - 1 \\ 3x + 2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

$\begin{cases} 3x - x > -1 - 2 \\ 3x > -2 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > -3 \\ x > -2/3 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1.5 \\ x > -2/3 \\ x > 1 \end{cases}$

Найдем пересечение полученных решений. Наиболее строгим является неравенство $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $\log_{0.8}(6x - 2) > \log_{0.8}(x + 5)$

Это логарифмическое неравенство вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$.

Основание логарифма $a = 0.8$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0.8} t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $f(x) < g(x)$.

Учтем ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 6x - 2 < x + 5 \\ 6x - 2 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 6x - x < 5 + 2 \\ 6x > 2 \\ x > -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x < 7 \\ x > 2/6 \\ x > -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 7/5 \\ x > 1/3 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $1/3 < x < 7/5$.

Ответ: $x \in (1/3; 7/5)$.

3) $\lg(2x - 1) < \lg(3x + 2)$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. $\lg(x) = \log_{10}(x)$.

Основание логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства для аргументов сохраняется.

С учетом ОДЗ (аргументы должны быть положительными) составляем систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 1 < 3x + 2 \\ 2x - 1 > 0 \\ 3x + 2 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} -1 - 2 < 3x - 2x \\ 2x > 1 \\ 3x > -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3 < x \\ x > 1/2 \\ x > -2/3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > 0.5 \\ x > -2/3 \end{cases}$

Пересечением этих решений является $x > 1/2$.

Ответ: $x \in (1/2; +\infty)$.

4) $\ln(4 - 2x) < \ln(x + 3)$

Здесь $\ln$ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e$. $\ln(x) = \log_e(x)$.

Основание $a = e \approx 2.718$. Так как $e > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства для аргументов сохраняется.

Необходимо учесть ОДЗ, чтобы аргументы логарифмов были положительными. Составляем систему:

$\begin{cases} 4 - 2x < x + 3 \\ 4 - 2x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 4 - 3 < x + 2x \\ 4 > 2x \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 < 3x \\ 2 > x \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1/3 \\ x < 2 \\ x > -3 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем двойное неравенство $1/3 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1/3; 2)$.