Страница 131 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Самостоятельно постройте дискретный вариационный ряд к примеру 1.

Самостоятельно постройте интервальный вариационный ряд к примеру 2.

Поскольку в задании не предоставлены исходные данные для примеров 1 и 2, мы рассмотрим гипотетические наборы данных, которые типичны для построения дискретных и интервальных вариационных рядов.

Самостоятельно постройте дискретный вариационный ряд к примеру 1.

Предположим, для примера 1 у нас есть следующий набор данных, представляющий собой результаты опроса 20 семей о количестве детей в семье (дискретный признак):

2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, 2

Для построения дискретного вариационного ряда необходимо выполнить следующие шаги:

1. Ранжирование ряда. Упорядочим значения по возрастанию. Это необязательный, но удобный шаг для подсчета частот.

0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4

2. Определение вариант и их частот. Найдем уникальные значения (варианты, $x_i$) и подсчитаем, сколько раз каждое из них встречается в выборке (абсолютная частота, $n_i$). Общий объем выборки $N = 20$.

• Количество семей без детей ($x_1=0$): $n_1 = 4$

• Количество семей с одним ребенком ($x_2=1$): $n_2 = 7$

• Количество семей с двумя детьми ($x_3=2$): $n_3 = 6$

• Количество семей с тремя детьми ($x_4=3$): $n_4 = 2$

• Количество семей с четырьмя детьми ($x_5=4$): $n_5 = 1$

Проверим, что сумма частот равна объему выборки: $\sum n_i = 4 + 7 + 6 + 2 + 1 = 20 = N$.

3. Расчет относительных частот ($w_i$). Относительная частота показывает долю каждой варианты в общем объеме выборки и рассчитывается по формуле $w_i = n_i / N$.

• $w_1 = 4 / 20 = 0.20$

• $w_2 = 7 / 20 = 0.35$

• $w_3 = 6 / 20 = 0.30$

• $w_4 = 2 / 20 = 0.10$

• $w_5 = 1 / 20 = 0.05$

Сумма относительных частот должна быть равна 1: $\sum w_i = 0.20 + 0.35 + 0.30 + 0.10 + 0.05 = 1.00$.

4. Расчет накопленных частот. Накопленная частота ($n_i^{\text{нак}}$) для каждой варианты — это сумма ее частоты и частот всех предыдущих вариант. Аналогично рассчитывается накопленная относительная частота ($w_i^{\text{нак}}$).

Теперь сведем все полученные данные в таблицу дискретного вариационного ряда.

Ответ:

Дискретный вариационный ряд для данного примера выглядит следующим образом:

Таблица 1. Дискретный вариационный ряд распределения семей по числу детей

Варианта ($x_i$)Абс. частота ($n_i$)Отн. частота ($w_i$)Накоп. частота ($n_i^{\text{нак}}$)Накоп. отн. частота ($w_i^{\text{нак}}$)040,2040,20170,35110,55260,30170,85320,10190,95410,05201,00Итого201,00--

Самостоятельно постройте интервальный вариационный ряд к примеру 2.

Предположим, для примера 2 у нас есть данные о росте 30 студентов в сантиметрах (непрерывный признак):

175, 168, 182, 190, 173, 165, 178, 185, 170, 181, 166, 174, 192, 177, 184, 169, 172, 188, 176, 163, 180, 171, 186, 179, 195, 167, 183, 175, 189, 170

Для построения интервального вариационного ряда выполним следующие шаги:

1. Определение размаха вариации ($R$). Найдем максимальное и минимальное значения в выборке.

$x_{\text{max}} = 195$ см

$x_{\text{min}} = 163$ см

Размах: $R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 195 - 163 = 32$ см.

2. Определение числа интервалов ($k$). Используем формулу Стерджесса для определения оптимального количества интервалов. Объем выборки $N = 30$.

$k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(N) = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(30) \approx 1 + 3.322 \cdot 1.477 \approx 1 + 4.907 \approx 5.91$.

Округлим полученное значение до целого. Возьмем $k=6$ интервалов.

3. Определение величины (ширины) интервала ($h$).

$h = R / k = 32 / 6 \approx 5.33$.

Для удобства округлим ширину интервала до целого числа, например, до $h=5$. Это приведет к небольшому изменению общего диапазона. Либо можно взять $h=6$, чтобы точно покрыть весь размах. Возьмем $h=6$.

4. Определение границ интервалов. Начало первого интервала можно взять равным $x_{\text{min}} = 163$. Границы интервалов (обычно левая граница включается в интервал, а правая — нет, т.е. $[a, b)$):

• Интервал 1: $[163, 169)$

• Интервал 2: $[169, 175)$

• Интервал 3: $[175, 181)$

• Интервал 4: $[181, 187)$

• Интервал 5: $[187, 193)$

• Интервал 6: $[193, 199)$. Последний интервал включает $x_{\text{max}}=195$.

5. Подсчет частот ($n_i$) по интервалам. Распределим все значения из исходной выборки по полученным интервалам.

• $[163, 169)$: 168, 165, 166, 163, 167. $n_1=5$.

• $[169, 175)$: 173, 170, 174, 169, 172, 171, 170. $n_2=7$.

• $[175, 181)$: 175, 178, 177, 176, 180, 179, 175. $n_3=7$.

• $[181, 187)$: 182, 185, 181, 184, 186, 183. $n_4=6$.

• $[187, 193)$: 190, 192, 188, 189. $n_5=4$.

• $[193, 199)$: 195. $n_6=1$.

Проверка: $\sum n_i = 5 + 7 + 7 + 6 + 4 + 1 = 30 = N$.

6. Составление таблицы. В таблицу также включают середины интервалов $x_i^*$ и относительные частоты $w_i = n_i / N$.

Ответ:

Интервальный вариационный ряд для данного примера выглядит следующим образом:

Таблица 2. Интервальный вариационный ряд распределения студентов по росту

Интервалы роста, смСередина интервала ($x_i^*$)Абс. частота ($n_i$)Отн. частота ($w_i$)[163 - 169)16650,167[169 - 175)17270,233[175 - 181)17870,233[181 - 187)18460,200[187 - 193)19040,133[193 - 199)19610,033Итого-301,000

1. Какие данные можно извлечь из дискретного вариационного ряда?

2. Какие данные можно извлечь из интервального вариационного ряда?

1. Какие данные можно извлечь из дискретного вариационного ряда?

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, в которой перечислены конкретные, единичные значения признака (варианты) и соответствующие им частоты (сколько раз каждое значение встречается в выборке). Этот тип ряда используется для признаков, которые могут принимать только определенные, изолированные значения (например, количество детей в семье, оценка на экзамене).

Из дискретного вариационного ряда можно извлечь следующие данные и рассчитать на их основе различные статистические показатели:

1. Варианты ($x_i$): Конкретные значения исследуемого признака, расположенные в порядке возрастания.

2. Частоты ($n_i$): Абсолютное число, показывающее, сколько раз каждая варианта $x_i$ встречается в совокупности. Сумма всех частот равна объему выборки: $N = \sum n_i$.

3. Относительные частоты ($w_i$): Доля каждой варианты в общем объеме выборки. Рассчитывается как отношение частоты к общему объему: $w_i = \frac{n_i}{N}$. Сумма относительных частот всегда равна 1.

4. Накопленные частоты ($S_i$): Сумма частоты данной варианты и всех предыдущих. Показывает, сколько единиц совокупности имеют значение признака, не превышающее текущее значение $x_i$.

5. Показатели центральной тенденции (меры среднего уровня):

- Мода ($Mo$): Варианта, имеющая наибольшую частоту. Это самое распространенное значение в ряду.

- Медиана ($Me$): Значение признака, которое делит упорядоченный ряд на две равные части. Для ее нахождения используют накопленные частоты.

- Среднее арифметическое (взвешенное) ($\bar{x}$): Наиболее распространенная мера центральной тенденции, вычисляемая по формуле: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$.

6. Показатели вариации (меры рассеяния):

- Размах вариации ($R$): Разница между максимальным и минимальным значениями вариант: $R = x_{max} - x_{min}$.

- Дисперсия ($\sigma^2$): Средний квадрат отклонений вариант от их средней величины. Показывает, насколько в среднем значения отклоняются от среднего. Формула для взвешенной дисперсии: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$.

- Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$): Корень квадратный из дисперсии, выражается в тех же единицах, что и сам признак: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.

- Коэффициент вариации ($V$): Относительный показатель рассеяния, используемый для сравнения вариации различных признаков: $V = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \cdot 100\%$.

Ответ: Из дискретного вариационного ряда можно извлечь сами значения признака (варианты), их абсолютные и относительные частоты, а также рассчитать накопленные частоты, показатели центральной тенденции (мода, медиана, среднее арифметическое) и показатели вариации (размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

2. Какие данные можно извлечь из интервального вариационного ряда?

Интервальный вариационный ряд используется, когда исследуемый признак является непрерывным или число его возможных значений очень велико. В этом случае все множество значений признака разбивается на последовательные, непересекающиеся интервалы, и для каждого интервала подсчитывается частота — количество наблюдений, попавших в него.

Ключевое отличие от дискретного ряда в том, что теряется информация о точных значениях признака внутри каждого интервала. Поэтому многие показатели рассчитываются приблизительно.

Из интервального вариационного ряда можно извлечь и рассчитать:

1. Границы интервалов и их ширина ($h$): Определяют диапазоны значений.

2. Частоты ($n_i$) и относительные частоты ($w_i$) для каждого интервала.

3. Накопленные частоты для каждого интервала.

4. Середины интервалов ($x'_i$): Используются как представительные значения для всех наблюдений в интервале при расчете средних и показателей вариации. $x'_i = \frac{x_{i, min} + x_{i, max}}{2}$.

5. Приблизительные показатели центральной тенденции:

- Модальный интервал: Интервал с наибольшей частотой. Внутри него рассчитывается точное значение моды ($Mo$) по формуле: $Mo = x_{Mo} + h \cdot \frac{n_{Mo} - n_{Mo-1}}{(n_{Mo} - n_{Mo-1}) + (n_{Mo} - n_{Mo+1})}$, где $x_{Mo}$ – нижняя граница модального интервала, $h$ – его ширина, $n_{Mo}$, $n_{Mo-1}$, $n_{Mo+1}$ – частоты модального, предмодального и послемодального интервалов соответственно.

- Медианный интервал: Первый интервал, накопленная частота которого превышает половину объема выборки ($N/2$). Значение медианы ($Me$) рассчитывается по формуле: $Me = x_{Me} + h \cdot \frac{\frac{N}{2} - S_{Me-1}}{n_{Me}}$, где $x_{Me}$ – нижняя граница медианного интервала, $h$ – его ширина, $N$ – объем выборки, $S_{Me-1}$ – накопленная частота предмедианного интервала, $n_{Me}$ – частота медианного интервала.

- Среднее арифметическое ($\bar{x}$): Рассчитывается по серединам интервалов: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x'_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$.

6. Приблизительные показатели вариации: Также рассчитываются с использованием середин интервалов.

- Дисперсия ($\sigma^2$): $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x'_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$.

- Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$): $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.

7. Данные для графического представления: Интервальный ряд является основой для построения гистограммы (столбчатой диаграммы, где высота столбцов пропорциональна частотам) и полигона частот (ломаной линии, соединяющей середины верхних оснований столбцов гистограммы).

Ответ: Из интервального вариационного ряда можно извлечь границы интервалов, их частоты (абсолютные и относительные), накопленные частоты, а также рассчитать приблизительные значения моды, медианы, среднего арифметического, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Также эти данные служат основой для построения гистограммы и полигона.

21.1. Имеются данные о разрядах рабочих: 3, 4, 5, 6, 3, 3, 4, 6, 6, 5, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 5, 6. Постройте дискретный вариационный ряд распределения рабочих по разрядам.

21.1. Для построения дискретного вариационного ряда распределения рабочих по разрядам необходимо выполнить следующие действия: сгруппировать данные по значениям признака (разряда) и для каждого значения подсчитать его частоту (количество повторений).

Исходный набор данных о разрядах рабочих: 3, 4, 5, 6, 3, 3, 4, 6, 6, 5, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 6.

1. Определение вариантов ($x_i$) и их упорядочивание.

Варианты — это уникальные значения признака в выборке. В данном случае это разряды рабочих. Выпишем их и расположим в порядке возрастания:

$x_1 = 3$

$x_2 = 4$

$x_3 = 5$

$x_4 = 6$

2. Подсчет частот ($n_i$).

Частота — это число, показывающее, сколько раз каждая варианта встречается в исходном наборе данных. Общее число наблюдений (рабочих) в выборке составляет $N = 17$.

• Для разряда 3: значение встречается 4 раза. Следовательно, частота $n_1 = 4$.

• Для разряда 4: значение встречается 5 раз. Следовательно, частота $n_2 = 5$.

• Для разряда 5: значение встречается 4 раза. Следовательно, частота $n_3 = 4$.

• Для разряда 6: значение встречается 4 раза. Следовательно, частота $n_4 = 4$.

3. Контрольная проверка.

Сумма всех частот должна быть равна общему объему выборки:

$\sum n_i = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 4 + 5 + 4 + 4 = 17$.

Так как $\sum n_i = N$, расчеты верны.

4. Построение вариационного ряда.

Теперь можно представить полученные данные в виде таблицы, которая и является дискретным вариационным рядом распределения.

Ответ: Построенный дискретный вариационный ряд показывает, что в исследуемой группе 4 рабочих имеют 3-й разряд, 5 рабочих — 4-й разряд, 4 рабочих — 5-й разряд и 4 рабочих — 6-й разряд.

21.2. У 40 учащихся школы независимо друг от друга попросили назвать любую цифру. Получили следующие данные (табл. 19).

Таблица 19

5 5 4 5 3 9 0 4 3 7

6 9 5 1 7 5 6 2 1 3

4 7 0 7 5 6 5 3 9 2

3 1 3 1 3 3 6 8 1 9

Постройте таблицу распределения кратностей данного измерения и найдите объем выборки и моду.

Для решения задачи последовательно выполним все требуемые действия.

Постройте таблицу распределения кратностей данного измерения

В исходной таблице представлен набор данных (выборка), состоящий из 40 чисел. Это цифры, которые назвали 40 опрошенных учащихся. Чтобы построить таблицу распределения кратностей, нужно для каждой уникальной цифры (от 0 до 9) подсчитать, сколько раз она встречается в этой выборке.

Проанализировав данные из таблицы 19, подсчитаем частоту (кратность) появления каждой цифры:

Цифра 0 встречается 2 раза.

Цифра 1 встречается 5 раз.

Цифра 2 встречается 2 раза.

Цифра 3 встречается 8 раз.

Цифра 4 встречается 3 раза.

Цифра 5 встречается 7 раз.

Цифра 6 встречается 4 раза.

Цифра 7 встречается 4 раза.

Цифра 8 встречается 1 раз.

Цифра 9 встречается 4 раза.

Теперь представим эти результаты в виде таблицы распределения кратностей. В первой строке таблицы укажем названные цифры (варианты), а во второй — соответствующие им кратности.

Ответ: Таблица распределения кратностей данного измерения представлена выше.

Найдите объем выборки

Объем выборки — это общее количество элементов в исследуемом наборе данных. Согласно условию, было опрошено 40 учащихся, поэтому объем выборки равен 40. Этот же результат можно получить, если сложить все кратности из построенной нами таблицы:

$N = 2 + 5 + 2 + 8 + 3 + 7 + 4 + 4 + 1 + 4 = 40$.

Ответ: 40.

Найдите моду

Модой ряда данных называется значение, которое встречается в этом ряду чаще всего. Чтобы найти моду, нужно обратиться к таблице распределения кратностей и найти вариант, имеющий наибольшую кратность.

Из таблицы видно, что наибольшая кратность — 8, и она соответствует цифре 3. Следовательно, цифра 3 является модой данного измерения.

Ответ: 3.