Страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ ОБ УЧЕНОМ-МАТЕМАТИКЕ

22.7. Одним из основателей современной математической статистики является английский математик Карл Пирсон. С его именем связано развитие числовых оценок корреляции (зависимости) между различными статистическими данными.

Карл Пирсон
(1857—1936)

Карл Пирсон (1857–1936) — выдающийся английский математик, статистик и биометрик, который по праву считается одним из основоположников современной математической статистики. Его работа заложила фундамент для многих методов анализа данных, которые используются и сегодня. С его именем, как указано в задании, в первую очередь связано развитие методов оценки корреляции, то есть статистической зависимости между различными величинами.

Биография и карьера

Карл Пирсон родился 27 марта 1857 года в Лондоне. Он получил блестящее образование, окончив в 1879 году Королевский колледж Кембриджского университета со степенью по математике. После этого он отправился в Германию, где изучал физику, метафизику и философию, что значительно расширило его научный кругозор. Вернувшись в Лондон, в 1884 году он стал профессором прикладной математики и механики в Университетском колледже Лондона. Именно здесь он начал свои революционные исследования в области статистики, во многом под влиянием работ Фрэнсиса Гальтона. Пирсон основал первую в мире университетскую кафедру статистики в 1911 году в том же колледже, которой руководил до своего выхода на пенсию в 1933 году.

Научный вклад

Вклад Карла Пирсона в науку огромен и многогранен. Он не просто применял математические методы, но и создавал новые для решения практических задач, в основном в области биологии и наследственности. Его ключевые достижения включают:

Коэффициент корреляции Пирсона. Это, пожалуй, самое известное его достижение. Коэффициент корреляции, обозначаемый как $r$, является мерой линейной связи между двумя непрерывными переменными. Его значение варьируется от $-1$ (полная отрицательная связь) до $+1$ (полная положительная связь), а значение $0$ указывает на отсутствие линейной связи. Формула для выборочного коэффициента корреляции: $r_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$, где $x_i$ и $y_i$ — значения переменных, а $\bar{x}$ и $\bar{y}$ — их средние значения.

Критерий согласия хи-квадрат ($\chi^2$). В 1900 году Пирсон разработал знаменитый критерий хи-квадрат. Этот статистический тест позволяет оценить, насколько хорошо наблюдаемые данные соответствуют ожидаемым (теоретическим) данным. Он широко используется для проверки гипотез, например, о независимости двух признаков в таблицах сопряженности. Статистика теста вычисляется по формуле: $\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$, где $O$ — наблюдаемая частота, а $E$ — ожидаемая (теоретическая) частота.

Гистограмма. Пирсон ввел в научный обиход сам термин «гистограмма» для обозначения столбчатой диаграммы, которая графически представляет распределение частот числовых данных. Этот инструмент визуализации стал стандартом в статистике.

Метод моментов. Он разработал метод моментов для нахождения оценок параметров распределения, основанный на приравнивании теоретических моментов (характеристик распределения) к их выборочным аналогам.

Основание журнала «Biometrika». В 1901 году вместе с Фрэнсисом Гальтоном и Уолтером Уэлдоном Пирсон основал научный журнал «Biometrika», который и по сей день остается одним из ведущих изданий в области теоретической и прикладной статистики.

Таким образом, Карл Пирсон совершил настоящий прорыв, превратив статистику из простого сбора данных в строгую научную дисциплину с собственным математическим аппаратом и методологией.

Ответ: В сообщении представлена развернутая информация о жизни и научном вкладе английского математика Карла Пирсона, одного из основателей современной математической статистики. Описаны его биография и ключевые достижения, такие как создание коэффициента корреляции, разработка критерия хи-квадрат, введение термина «гистограмма» и основание журнала «Biometrika».

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. В таблице дан закон распределения случайной величины $X$.

$X$ 2 4 6 8 10

$\frac{n_i}{n}$ ? 0,2 ? 0,1 ?

Неизвестные относительные частоты пропорциональны числам 3:3:1.

Тогда заполненная таблица вариационного ряда относительных частот имеет вид:

A) $X$ 2 4 6 8 10

$\frac{n_i}{n}$ 0,2 0,15 0,3 0,15 0,2

B) $X$ 2 4 6 8 10

$\frac{n_i}{n}$ 0,2 0,15 0,25 0,15 0,2

C) $X$ 2 4 6 8 10

$\frac{n_i}{n}$ 0,15 0,15 0,25 0,15 0,25

D) $X$ 2 4 6 8 10

$\frac{n_i}{n}$ 0,3 0,2 0,3 0,1 0,1

E) $X$ 2 4 6 8 10

$\frac{n_i}{n}$ 0,2 0,15 0,2 0,15 0,3

Для нахождения неизвестных относительных частот воспользуемся основным свойством ряда распределения: сумма всех относительных частот равна 1.$ \sum \frac{n_i}{n} = 1 $

Из таблицы нам известны две относительные частоты: для значения $X=4$ она равна 0,2, а для $X=8$ – 0,1. Неизвестными остаются относительные частоты для $X=2$, $X=6$ и $X=10$. Обозначим их $w_2$, $w_6$ и $w_{10}$ соответственно.

Составим уравнение, исходя из суммы всех частот:$ w_2 + 0,2 + w_6 + 0,1 + w_{10} = 1 $

Выразим сумму неизвестных частот:$ w_2 + w_6 + w_{10} = 1 - 0,2 - 0,1 $$ w_2 + w_6 + w_{10} = 0,7 $

По условию задачи, неизвестные относительные частоты ($w_2, w_6, w_{10}$) пропорциональны числам 3:3:1. Это можно записать в виде пропорции:$ w_2 : w_6 : w_{10} = 3 : 3 : 1 $

Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда неизвестные частоты можно выразить через $k$:$ w_2 = 3k $$ w_6 = 3k $$ w_{10} = 1k = k $

Теперь подставим эти выражения в уравнение для суммы неизвестных частот:$ 3k + 3k + k = 0,7 $$ 7k = 0,7 $

Найдем значение коэффициента $k$:$ k = \frac{0,7}{7} = 0,1 $

Зная $k$, вычислим каждую из неизвестных относительных частот:Для $X=2$: $w_2 = 3k = 3 \cdot 0,1 = 0,3$.Для $X=6$: $w_6 = 3k = 3 \cdot 0,1 = 0,3$.Для $X=10$: $w_{10} = k = 0,1$.

Таким образом, полная таблица распределения относительных частот имеет следующий вид: для $X=2$ частота 0,3; для $X=4$ частота 0,2; для $X=6$ частота 0,3; для $X=8$ частота 0,1; для $X=10$ частота 0,1.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, заключаем, что он полностью совпадает с вариантом D).

Ответ: D