Страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Докажите тождества (22–24):

22. 1)

$ \frac{a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - ab = 0; $

2)

$ \frac{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} - \sqrt{mn} = m + n; $

3)

$ \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}}{a + 1} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} - (a - 7)^0 = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1, \text{ при } a > 7; $

4)

$ \frac{a - 1}{\sqrt[3]{a} - 1} - \frac{a + 1}{\sqrt[3]{a} + 1} + (a + 10)^0 = 2\sqrt[3]{a} + 1. $

22. 1)

Преобразуем левую часть тождества. Перепишем корни в виде степеней с дробными показателями: $ \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} $ и $ \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - ab $

В числителе дроби вынесем за скобки общий множитель $ ab $:

$ a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}} = a \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b - a \cdot b \cdot b^{\frac{1}{3}} = ab(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$ \frac{ab(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

При условии, что $ a \neq b $, мы можем сократить дробь на $ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $, получив $ ab $.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$ ab - ab = 0 $

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Перепишем корни в виде степеней: $ \sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}} $, $ \sqrt{n} = n^{\frac{1}{2}} $ и $ \sqrt{mn} = (mn)^{\frac{1}{2}} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{mn} $

Числитель дроби $ m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}} $ является разностью кубов, так как его можно записать в виде $ (m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3 $.

Применим формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $, где $ x = m^{\frac{1}{2}} $ и $ y = n^{\frac{1}{2}} $:

$ (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})((m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2) = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + \sqrt{mn} + n) $

Подставим это в дробь:

$ \frac{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + \sqrt{mn} + n)}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} $

При условии, что $ m \neq n $, мы можем сократить дробь на $ (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) $, получив $ m + \sqrt{mn} + n $.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$ (m + \sqrt{mn} + n) - \sqrt{mn} = m + n $

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Рассмотрим левую часть тождества при условии $ a > 7 $. Это условие гарантирует, что все выражения определены, и, в частности, что $ a-7 \neq 0 $, поэтому $ (a-7)^0 = 1 $.

Левая часть: $ \frac{a^{-\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}}{a+1} + \frac{a^{-\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}+1} - (a-7)^0 $.

Преобразуем каждое слагаемое по отдельности, используя $ a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} $ и $ a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}} $.

Первое слагаемое: $ \frac{a^{-\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}}{a+1} = \frac{\frac{1}{\sqrt{a}} + \sqrt{a}}{a+1} = \frac{\frac{1+a}{\sqrt{a}}}{a+1} = \frac{a+1}{\sqrt{a}(a+1)} = \frac{1}{\sqrt{a}} $.

Второе слагаемое: $ \frac{a^{-\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}+1} = \frac{\frac{1}{\sqrt{a}}+1}{\sqrt{a}+1} = \frac{\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a}+1} = \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{1}{\sqrt{a}} $.

Третье слагаемое: $ (a-7)^0 = 1 $.

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$ \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1 $.

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. Предполагается, что $ a \neq \pm 1 $ и $ a \neq -10 $, чтобы все выражения были определены. В этом случае $ (a+10)^0 = 1 $.

Левая часть: $ \frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} - \frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} + (a+10)^0 $.

Упростим первую дробь, представив числитель $ a-1 $ как разность кубов $ (\sqrt[3]{a})^3 - 1^3 $ и применив формулу $ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $:

$ \frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} = \frac{(\sqrt[3]{a}-1)((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a} + 1)}{\sqrt[3]{a}-1} = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} + 1 $.

Упростим вторую дробь, представив числитель $ a+1 $ как сумму кубов $ (\sqrt[3]{a})^3 + 1^3 $ и применив формулу $ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $:

$ \frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} = \frac{(\sqrt[3]{a}+1)((\sqrt[3]{a})^2 - \sqrt[3]{a} + 1)}{\sqrt[3]{a}+1} = \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} + 1 $.

Подставим упрощенные дроби и значение $ (a+10)^0 = 1 $ в исходное выражение:

$ (\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} + 1) - (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} + 1) + 1 $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} + 1 - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} - 1 + 1 = (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a^2}) + (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a}) + (1 - 1 + 1) = 2\sqrt[3]{a} + 1 $.

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

23. 1) $\frac{\log_5 3 + \log_5 9}{3\log_5 2 - \log_5 24} = -3;$

2) $\frac{\log_6 75 - \log_6 3}{2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45} = 2;$

3) $\frac{2\log_{11} 5 + 2\log_{11} 2}{2\log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3\log_{11} 2} = 2;$

4) $\frac{3\lg 4 + \lg 0,5}{\lg 30 - \lg 15} = 5.$

1) Для доказательства равенства преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов: $n\log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$.

Преобразуем числитель:$ \log_5 3 + \log_5 9 = \log_5(3 \cdot 9) = \log_5 27 $.Также можно представить $ \log_5 27 = \log_5 3^3 = 3\log_5 3 $.

Преобразуем знаменатель:$ 3\log_5 2 - \log_5 24 = \log_5 2^3 - \log_5 24 = \log_5 8 - \log_5 24 = \log_5(8/24) = \log_5(1/3) $.

Используя свойство $ \log_a(1/b) = -\log_a b $, получаем: $ \log_5(1/3) = -\log_5 3 $.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$ \frac{3\log_5 3}{-\log_5 3} = -3 $.

Равенство доказано.

Ответ: -3.

2) Преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов.

Числитель:

$ \log_6 75 - \log_6 3 = \log_6(75/3) = \log_6 25 $. Так как $ 25=5^2 $, то $ \log_6 25 = 2\log_6 5 $.

Знаменатель:

$ 2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45 = \log_6 ((\frac{1}{3})^2) + \log_6 45 = \log_6 \frac{1}{9} + \log_6 45 = \log_6(\frac{1}{9} \cdot 45) = \log_6 5 $.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$ \frac{2\log_6 5}{\log_6 5} = 2 $.

Равенство доказано.

Ответ: 2.

3) Преобразуем числитель и знаменатель дроби.

Числитель:

$ 2\log_{11} 5 + 2\log_{11} 2 = 2(\log_{11} 5 + \log_{11} 2) = 2\log_{11}(5 \cdot 2) = 2\log_{11} 10 $.

Знаменатель:

$ 2\log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3\log_{11} 2 = \log_{11} 4^2 + \log_{11} 5 - \log_{11} 2^3 = \log_{11} 16 + \log_{11} 5 - \log_{11} 8 $.

Объединяем логарифмы: $ \log_{11}(\frac{16 \cdot 5}{8}) = \log_{11}(\frac{80}{8}) = \log_{11} 10 $.

Подставляем числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{2\log_{11} 10}{\log_{11} 10} = 2 $.

Равенство доказано.

Ответ: 2.

4) Преобразуем числитель и знаменатель дроби. Напомним, что $ \lg x $ это десятичный логарифм $ \log_{10} x $.

Числитель:

$ 3\lg 4 + \lg 0,5 = \lg 4^3 + \lg 0,5 = \lg 64 + \lg 0,5 = \lg(64 \cdot 0,5) = \lg 32 $.

Знаменатель:

$ \lg 30 - \lg 15 = \lg(30/15) = \lg 2 $.

Подставляем полученные выражения в дробь и используем формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_a c}{\log_a b} = \log_b c $:

$ \frac{\lg 32}{\lg 2} = \log_2 32 $.

Так как $ 32 = 2^5 $, то $ \log_2 32 = 5 $.

Равенство доказано.

Ответ: 5.

24.1) $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{13} 2} = 100;$

2) $49^{\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27;$

3) $5^{\log_5 \sqrt{2}} \cdot 121^{\log_{11} 3} = 36;$

4) $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_3 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54.$

1) $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{169} 2} = 100$

Для решения воспользуемся основными свойствами логарифмов и степеней: $a^{\log_a b} = b$, $k \log_a b = \log_a b^k$, $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Преобразуем левую часть равенства. Сначала вычислим каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $9^{\log_3 5}$. Так как $9 = 3^2$, то

$9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5} = 3^{\log_3 5^2} = 3^{\log_3 25} = 25$.

Второй множитель: $13^{2\log_{169} 2}$. Основание логарифма $169 = 13^2$. Поэтому

$\log_{169} 2 = \log_{13^2} 2 = \frac{1}{2}\log_{13} 2$.

Тогда второй множитель равен:

$13^{2\log_{169} 2} = 13^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{13} 2} = 13^{\log_{13} 2} = 2$.

Теперь перемножим полученные значения:

$25 \cdot 2 = 50$.

В результате вычисления левой части равенства мы получили 50, а в правой части уравнения стоит 100.

$50 \neq 100$. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как левая часть равна 50.

2) $49^{\log_7 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27$

Преобразуем показатель степени, используя свойства логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и $k \log_a b = \log_a b^k$.

Сначала упростим показатель степени: $\log_7 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_7 3$.

Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, то $\log_7 \sqrt{3} = \log_7 3^{1/2} = \frac{1}{2}\log_7 3$.

Показатель степени равен: $\frac{1}{2}\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\log_7 3\right) = \log_7 3$.

Теперь вычислим значение всего выражения:

$49^{\log_7 3} = (7^2)^{\log_7 3} = 7^{2\log_7 3} = 7^{\log_7 3^2} = 7^{\log_7 9} = 9$.

В результате вычисления левой части равенства мы получили 9, а в правой части уравнения стоит 27.

$9 \neq 27$. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как левая часть равна 9.

3) $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} \cdot 121^{\log_{11} \sqrt{3}} = 36$

Преобразуем левую часть равенства, вычислив каждый множитель.

Первый множитель: $5^{\log_{\sqrt{5}} 2}$.

Упростим логарифм в показателе, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, то

$\log_{\sqrt{5}} 2 = \log_{5^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_5 2 = 2\log_5 2 = \log_5 2^2 = \log_5 4$.

Тогда $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} = 5^{\log_5 4} = 4$.

Второй множитель: $121^{\log_{11} \sqrt{3}}$.

Так как $121 = 11^2$ и $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, то

$121^{\log_{11} \sqrt{3}} = (11^2)^{\log_{11} 3^{1/2}} = 11^{2 \cdot \log_{11} 3^{1/2}} = 11^{2 \cdot \frac{1}{2} \log_{11} 3} = 11^{\log_{11} 3} = 3$.

Перемножим полученные значения: $4 \cdot 3 = 12$.

В результате вычисления левой части равенства мы получили 12, а в правой части уравнения стоит 36.

$12 \neq 36$. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как левая часть равна 12.

4) $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_9 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54$

Знак ":" обозначает деление. Вычислим значение выражения в левой части равенства по шагам.

1. Вычислим делимое в скобках: $8^{\log_2 3}$.

$8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27} = 27$.

2. Вычислим делитель в скобках: $27^{\log_9 2}$.

Так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$, то $\log_9 2 = \log_{3^2} 2 = \frac{1}{2}\log_3 2$.

$27^{\log_9 2} = (3^3)^{\frac{1}{2}\log_3 2} = 3^{\frac{3}{2}\log_3 2} = 3^{\log_3 (2^{3/2})} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

3. Вычислим частное в скобках: $27 : (2\sqrt{2}) = \frac{27}{2\sqrt{2}}$.

4. Вычислим второй множитель: $25^{\log_5 4}$.

$25^{\log_5 4} = (5^2)^{\log_5 4} = 5^{2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^2} = 5^{\log_5 16} = 16$.

5. Выполним умножение: $\frac{27}{2\sqrt{2}} \cdot 16 = \frac{27 \cdot 8}{\sqrt{2}} = \frac{216}{\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{216\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{216\sqrt{2}}{2} = 108\sqrt{2}$.

В результате вычисления левой части равенства мы получили $108\sqrt{2}$, а в правой части уравнения стоит 54.

$108\sqrt{2} \neq 54$. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как левая часть равна $108\sqrt{2}$.

Решите иррациональные уравнения (25—29):

25. 1) $\sqrt{2x-7}=3$;

2) $\sqrt[3]{x^2+7x+8}=2$;

3) $\sqrt{11+3x}=4$;

4) $\sqrt[3]{27+2x-x^2}=3$.

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x - 7} = 3$.

Поскольку в уравнении присутствует арифметический квадратный корень, выражение под корнем должно быть неотрицательным. Это задает область допустимых значений (ОДЗ):

$2x - 7 \ge 0$

$2x \ge 7$

$x \ge 3.5$

Для того чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 7})^2 = 3^2$

$2x - 7 = 9$

Перенесем -7 в правую часть:

$2x = 9 + 7$

$2x = 16$

$x = 8$

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = 8$ области допустимых значений. Так как $8 \ge 3.5$, корень является решением уравнения.

Дополнительно выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2 \cdot 8 - 7} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $8$.

2) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x^2 + 7x + 8} = 2$.

Так как корень в уравнении нечетной степени (кубический), он определен для любых действительных значений подкоренного выражения. Поэтому область допустимых значений — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Для решения возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x^2 + 7x + 8})^3 = 2^3$

$x^2 + 7x + 8 = 8$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 7x + 8 - 8 = 0$

$x^2 + 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $x + 7 = 0 \implies x_2 = -7$.

Так как ограничений на ОДЗ не было, оба корня являются решениями.

Проверка:

Для $x_1 = 0$: $\sqrt[3]{0^2 + 7(0) + 8} = \sqrt[3]{8} = 2$. $2=2$. Верно.

Для $x_2 = -7$: $\sqrt[3]{(-7)^2 + 7(-7) + 8} = \sqrt[3]{49 - 49 + 8} = \sqrt[3]{8} = 2$. $2=2$. Верно.

Ответ: $-7; 0$.

3) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{11 + 3x} = 4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав неотрицательности подкоренного выражения:

$11 + 3x \ge 0$

$3x \ge -11$

$x \ge -\frac{11}{3}$

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{11 + 3x})^2 = 4^2$

$11 + 3x = 16$

$3x = 16 - 11$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $-11/3 \approx -3.67$. Так как $5/3 \approx 1.67$, и $1.67 \ge -3.67$, корень входит в ОДЗ.

Проверка подстановкой:

$\sqrt{11 + 3 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{11 + 5} = \sqrt{16} = 4$.

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

4) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{27 + 2x - x^2} = 3$.

Корень нечетной степени определен для любых действительных чисел, поэтому ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{27 + 2x - x^2})^3 = 3^3$

$27 + 2x - x^2 = 27$

Вычтем 27 из обеих частей уравнения:

$2x - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $2 - x = 0 \implies x_2 = 2$.

Проверка:

Для $x_1 = 0$: $\sqrt[3]{27 + 2(0) - 0^2} = \sqrt[3]{27} = 3$. $3=3$. Верно.

Для $x_2 = 2$: $\sqrt[3]{27 + 2(2) - 2^2} = \sqrt[3]{27 + 4 - 4} = \sqrt[3]{27} = 3$. $3=3$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $0; 2$.

26. 1) $x = 7 - \sqrt{3x + 7};$

2) $\sqrt{15 - 3x} - x = 1;$

3) $\sqrt{21x + 25} - 3x = 5;$

4) $\sqrt{121 - 12x} = 11 - 3x.$

1) Решим уравнение $x = 7 - \sqrt{3x+7}$.

Сначала изолируем радикал. Для этого перенесем его в левую часть, а $x$ — в правую:

$\sqrt{3x+7} = 7 - x$

Для того чтобы уравнение имело решение, должны выполняться условия области допустимых значений (ОДЗ):

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x+7 \ge 0$, что дает $3x \ge -7$, и следовательно, $x \ge -\frac{7}{3}$.

2. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $7 - x \ge 0$, что дает $x \le 7$.

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $-\frac{7}{3} \le x \le 7$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{3x+7} = 7 - x$ в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{3x+7})^2 = (7-x)^2$

$3x+7 = 49 - 14x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 14x - 3x + 49 - 7 = 0$

$x^2 - 17x + 42 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $17$, а их произведение равно $42$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 14$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $-\frac{7}{3} \le x \le 7$.

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет неравенству: $-\frac{7}{3} \le 3 \le 7$.

Корень $x_2 = 14$ не удовлетворяет неравенству, так как $14 > 7$. Следовательно, это посторонний корень.

Единственным решением является $x = 3$. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

$3 = 7 - \sqrt{3(3)+7} \implies 3 = 7 - \sqrt{9+7} \implies 3 = 7 - \sqrt{16} \implies 3 = 7 - 4 \implies 3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $3$.

2) Решим уравнение $\sqrt{15-3x} - x = 1$.

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{15-3x} = 1 + x$

Определим ОДЗ:

1. Подрадикальное выражение: $15 - 3x \ge 0 \implies 15 \ge 3x \implies x \le 5$.

2. Правая часть уравнения: $1 + x \ge 0 \implies x \ge -1$.

Общая ОДЗ: $-1 \le x \le 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{15-3x})^2 = (1+x)^2$

$15 - 3x = 1 + 2x + x^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$x^2 + 2x + 3x + 1 - 15 = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение $-14$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $-1 \le x \le 5$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию: $-1 \le 2 \le 5$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 < -1$. Это посторонний корень.

Проверим решение $x = 2$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{15-3(2)} - 2 = 1 \implies \sqrt{15-6} - 2 = 1 \implies \sqrt{9} - 2 = 1 \implies 3 - 2 = 1 \implies 1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $2$.

3) Решим уравнение $\sqrt{21x+25} - 3x = 5$.

Изолируем радикал:

$\sqrt{21x+25} = 5 + 3x$

Определим ОДЗ:

1. $21x + 25 \ge 0 \implies 21x \ge -25 \implies x \ge -\frac{25}{21}$.

2. $5 + 3x \ge 0 \implies 3x \ge -5 \implies x \ge -\frac{5}{3}$.

Сравним $-\frac{25}{21}$ и $-\frac{5}{3} = -\frac{35}{21}$. Так как $-\frac{25}{21} > -\frac{35}{21}$, более строгим является условие $x \ge -\frac{25}{21}$.

Возведем обе части в квадрат:

$21x + 25 = (5 + 3x)^2$

$21x + 25 = 25 + 30x + 9x^2$

Приведем к стандартному виду:

$9x^2 + 30x - 21x + 25 - 25 = 0$

$9x^2 + 9x = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$9x(x + 1) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ $x \ge -\frac{25}{21} \approx -1.19$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию: $0 \ge -\frac{25}{21}$.

Корень $x_2 = -1$ также удовлетворяет условию: $-1 \ge -\frac{25}{21}$.

Поскольку оба корня принадлежат ОДЗ, они могут быть решениями. Проведем проверку подстановкой в исходное уравнение.

Для $x = 0$: $\sqrt{21(0)+25} - 3(0) = 5 \implies \sqrt{25} = 5 \implies 5 = 5$. Верно.

Для $x = -1$: $\sqrt{21(-1)+25} - 3(-1) = 5 \implies \sqrt{-21+25} + 3 = 5 \implies \sqrt{4} + 3 = 5 \implies 2+3=5$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-1; 0$.

4) Решим уравнение $\sqrt{121-12x} = 11 - 3x$.

Радикал уже изолирован. Определим ОДЗ:

1. $121 - 12x \ge 0 \implies 121 \ge 12x \implies x \le \frac{121}{12} \approx 10.08$.

2. $11 - 3x \ge 0 \implies 11 \ge 3x \implies x \le \frac{11}{3} \approx 3.67$.

Более строгим является второе условие, поэтому ОДЗ: $x \le \frac{11}{3}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{121-12x})^2 = (11-3x)^2$

$121 - 12x = 121 - 66x + 9x^2$

Приведем к стандартному виду:

$9x^2 - 66x + 12x + 121 - 121 = 0$

$9x^2 - 54x = 0$

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:

$9x(x - 6) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \le \frac{11}{3}$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию: $0 \le \frac{11}{3}$.

Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет условию, так как $6 > \frac{11}{3}$. Это посторонний корень.

Проверим решение $x=0$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{121-12(0)} = 11 - 3(0) \implies \sqrt{121} = 11 \implies 11 = 11$. Равенство верное.

Ответ: $0$.

27. 1) $\sqrt{x^2 - 2} = \sqrt{3x + 2}$;

2) $\sqrt[3]{x^3 + x + 1} = x$;

3) $\frac{\sqrt{3x - 5}}{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$;

4) $x + 2 = \sqrt{(3x + 4)(x + 1)}$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 2} = \sqrt{3x + 2}$.

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 2 = 3x + 2 \\ 3x + 2 \ge 0 \end{cases} $

(Условие $x^2 - 2 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $x^2 - 2$ приравнивается к неотрицательному выражению $3x + 2$).

Решим сначала уравнение:

$x^2 - 2 = 3x + 2$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -1$

Теперь проверим выполнение условия $3x + 2 \ge 0$ (или $x \ge -2/3$) для каждого корня.

Для $x_1 = 4$:

$3(4) + 2 = 12 + 2 = 14 \ge 0$. Корень $x=4$ подходит.

Для $x_2 = -1$:

$3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 < 0$. Корень $x=-1$ является посторонним.

Ответ: $x=4$

2) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x^3 + x + 1} = x$.

Поскольку корень нечетной степени, мы можем без ограничений возвести обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x^3 + x + 1})^3 = x^3$

$x^3 + x + 1 = x^3$

Вычтем $x^3$ из обеих частей:

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Проверка:

$\sqrt[3]{(-1)^3 + (-1) + 1} = \sqrt[3]{-1 - 1 + 1} = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Правая часть: $x = -1$.

$-1 = -1$. Решение верное.

Ответ: $x=-1$

3) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{3x-5}}{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5/3 \\ x > 2 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

На ОДЗ $x-1 > 1 > 0$, поэтому можно умножить обе части на $(x-1)\sqrt{x-2}$:

$\sqrt{3x-5} \cdot \sqrt{x-2} = x-1$

$\sqrt{(3x-5)(x-2)} = x-1$

Возводим обе части в квадрат (это допустимо, так как на ОДЗ $x-1 > 0$):

$(3x-5)(x-2) = (x-1)^2$

$3x^2 - 6x - 5x + 10 = x^2 - 2x + 1$

$3x^2 - 11x + 10 = x^2 - 2x + 1$

$2x^2 - 9x + 9 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4(2)(9) = 81 - 72 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{9+3}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{9-3}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$

Проверяем корни по ОДЗ ($x>2$):

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3>2$.

$x_2 = 1.5$ не удовлетворяет условию $1.5>2$, это посторонний корень.

Ответ: $x=3$

4) Исходное уравнение: $x + 2 = \sqrt{(3x+4)(x+1)}$.

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} (x+2)^2 = (3x+4)(x+1) \\ x+2 \ge 0 \end{cases} $

(Условие $(3x+4)(x+1) \ge 0$ будет выполнено автоматически, так как оно приравнивается к неотрицательному выражению $(x+2)^2$).

Решим сначала уравнение:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 3x + 4x + 4$

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 7x + 4$

$2x^2 + 3x = 0$

$x(2x+3) = 0$

Получаем два корня:

$x_1 = 0$

$2x+3=0 \implies x_2 = -3/2 = -1.5$

Теперь проверим выполнение условия $x+2 \ge 0$ (или $x \ge -2$) для каждого корня.

Для $x_1 = 0$:

$0+2 = 2 \ge 0$. Корень $x=0$ подходит.

Для $x_2 = -1.5$:

$-1.5+2 = 0.5 \ge 0$. Корень $x=-1.5$ подходит.

Ответ: $x_1=0, x_2=-1.5$

28. 1) $\frac{x+1}{9-x} = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$;

2) $\frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x$;

3) $\sqrt{x-9}+2 = \sqrt{x-1}$;

4) $\sqrt{x+5} = 5-\sqrt{x-10}$.

1) Исходное уравнение: $ \frac{x+1}{9-x} = \frac{1}{\sqrt{x}+3} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ x \geq 0 $. Знаменатели дробей не должны равняться нулю: $ 9 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 9 $ и $ \sqrt{x}+3 \neq 0 $. Условие $ \sqrt{x}+3 \neq 0 $ выполняется для всех $ x \geq 0 $, так как $ \sqrt{x} \geq 0 $, а значит $ \sqrt{x}+3 \geq 3 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in [0, 9) \cup (9, +\infty) $.

Разложим знаменатель левой части по формуле разности квадратов, представив $ x $ как $ (\sqrt{x})^2 $: $ 9-x = 3^2 - (\sqrt{x})^2 = (3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x}) $.

Подставим это в уравнение: $ \frac{x+1}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x}+3} $.

Так как $ \sqrt{x}+3 \neq 0 $, мы можем умножить обе части уравнения на $ (\sqrt{x}+3) $, получим: $ \frac{x+1}{3-\sqrt{x}} = 1 $.

Это уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x+1 = 3-\sqrt{x} \\ 3-\sqrt{x} \neq 0 \end{cases} $.

Из первого уравнения выразим корень: $ \sqrt{x} = 3 - 1 - x \Rightarrow \sqrt{x} = 2-x $.

Для существования корня необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $ 2-x \geq 0 $, что означает $ x \leq 2 $.

С учетом ОДЗ, искомое решение должно принадлежать промежутку $ [0, 2] $.

Возведем обе части уравнения $ \sqrt{x} = 2-x $ в квадрат: $ (\sqrt{x})^2 = (2-x)^2 \Rightarrow x = 4 - 4x + x^2 $.

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $ x^2 - 5x + 4 = 0 $.

Найдем корни по теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 5 $, $ x_1 \cdot x_2 = 4 $. Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 4 $.

Проверим корни на соответствие условию $ x \leq 2 $.

Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет условию $ 1 \leq 2 $.

Корень $ x_2 = 4 $ не удовлетворяет условию $ 4 \leq 2 $, следовательно, является посторонним.

Единственным решением является $ x=1 $. Оно также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x=1 $.

2) Исходное уравнение: $ \frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x $.

ОДЗ: подкоренное выражение $ x \geq 0 $. Знаменатель $ 2+\sqrt{x} $ не равен нулю при $ x \geq 0 $.

Разложим числитель левой части по формуле разности квадратов: $ 4-x = (2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x}) $.

Уравнение примет вид: $ \frac{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{2+\sqrt{x}} = 8-x $.

Сократим дробь на $ (2+\sqrt{x}) $: $ 2-\sqrt{x} = 8-x $.

Выразим радикал: $ \sqrt{x} = x - 8 + 2 \Rightarrow \sqrt{x} = x-6 $.

Правая часть должна быть неотрицательной: $ x-6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 6 $. Это наше условие для корней.

Возведем обе части в квадрат: $ (\sqrt{x})^2 = (x-6)^2 \Rightarrow x = x^2 - 12x + 36 $.

Получаем квадратное уравнение: $ x^2 - 13x + 36 = 0 $.

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 4 $, $ x_2 = 9 $.

Проверим корни на соответствие условию $ x \geq 6 $.

Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет условию $ 4 \geq 6 $, это посторонний корень.

Корень $ x_2 = 9 $ удовлетворяет условию $ 9 \geq 6 $.

Единственное решение $ x=9 $. Оно также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x=9 $.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{x-9} + 2 = \sqrt{x-1} $.

ОДЗ: $ \begin{cases} x-9 \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 9 \\ x \geq 1 \end{cases} $. Следовательно, ОДЗ: $ x \geq 9 $.

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат: $ (\sqrt{x-9} + 2)^2 = (\sqrt{x-1})^2 $.

$ (x-9) + 4\sqrt{x-9} + 4 = x-1 $.

$ x - 5 + 4\sqrt{x-9} = x - 1 $.

Уединим радикал: $ 4\sqrt{x-9} = x - 1 - x + 5 $.

$ 4\sqrt{x-9} = 4 $.

$ \sqrt{x-9} = 1 $.

Возведем обе части в квадрат еще раз: $ x-9 = 1^2 \Rightarrow x-9 = 1 $.

$ x = 10 $.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $ 10 \geq 9 $. Удовлетворяет.

Выполним проверку, подставив в исходное уравнение: $ \sqrt{10-9} + 2 = \sqrt{10-1} \Rightarrow \sqrt{1} + 2 = \sqrt{9} \Rightarrow 1+2=3 \Rightarrow 3=3 $. Равенство верное.

Ответ: $ x=10 $.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+5} = 5 - \sqrt{x-10} $.

ОДЗ: $ \begin{cases} x+5 \geq 0 \\ x-10 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq -5 \\ x \geq 10 \end{cases} $. Следовательно, ОДЗ: $ x \geq 10 $.

Дополнительное условие: правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $ 5 - \sqrt{x-10} \geq 0 \Rightarrow 5 \geq \sqrt{x-10} $. Так как обе части неотрицательны, возведем в квадрат: $ 25 \geq x-10 \Rightarrow x \leq 35 $.

Таким образом, решение должно лежать в промежутке $ [10, 35] $.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат: $ (\sqrt{x+5})^2 = (5 - \sqrt{x-10})^2 $.

$ x+5 = 25 - 10\sqrt{x-10} + (x-10) $.

$ x+5 = x + 15 - 10\sqrt{x-10} $.

Уединим радикал: $ 10\sqrt{x-10} = x+15 - x - 5 $.

$ 10\sqrt{x-10} = 10 $.

$ \sqrt{x-10} = 1 $.

Возведем обе части в квадрат: $ x-10 = 1^2 \Rightarrow x-10 = 1 $.

$ x = 11 $.

Проверим, удовлетворяет ли корень $ x=11 $ найденным ограничениям: $ 10 \leq 11 \leq 35 $. Удовлетворяет.

Выполним проверку, подставив в исходное уравнение: $ \sqrt{11+5} = 5 - \sqrt{11-10} \Rightarrow \sqrt{16} = 5 - \sqrt{1} \Rightarrow 4 = 5-1 \Rightarrow 4=4 $. Равенство верное.

Ответ: $ x=11 $.