Страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

41. 1) $\log_3(2^x - 1) = 1 - \log_3(2^x - 3)$;

2) $\log_2(3^x - 1) = 1 - \log_2(3^x - 2)$.

1) Решим уравнение $\log_3(2^x - 1) = 1 - \log_3(2^x - 3)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2^x - 1 > 0 \\ 2^x - 3 > 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2^x > 1 \\ 2^x > 3 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $2^x > 2^0$, что означает $x > 0$.

Из второго неравенства получаем $x > \log_2(3)$.

Поскольку $\log_2(3) > \log_2(2) = 1$, то условие $x > \log_2(3)$ является более строгим. Таким образом, ОДЗ: $x > \log_2(3)$.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Перенесем логарифм из правой части в левую:

$\log_3(2^x - 1) + \log_3(2^x - 3) = 1$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_3((2^x - 1)(2^x - 3)) = 1$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $):

$(2^x - 1)(2^x - 3) = 3^1$

$(2^x - 1)(2^x - 3) = 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Учитывая ОДЗ, $x > \log_2(3)$, имеем $t = 2^x > 2^{\log_2(3)} = 3$. Итак, $t > 3$.

Подставим $t$ в уравнение:

$(t - 1)(t - 3) = 3$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 3t - t + 3 = 3$

$t^2 - 4t = 0$

$t(t - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$.

Проверим эти значения. Корень $t_1 = 0$ не удовлетворяет условию $t > 3$.

Корень $t_2 = 4$ удовлетворяет условию $t > 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ ОДЗ $x > \log_2(3)$. Сравним $2$ и $\log_2(3)$. Так как $2 = \log_2(4)$ и $4 > 3$, то $\log_2(4) > \log_2(3)$, следовательно, $2 > \log_2(3)$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.

2) Решим уравнение $\log_2(3^x - 1) = 1 - \log_2(3^x - 2)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3^x - 1 > 0 \\ 3^x - 2 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 3^x > 1 \\ 3^x > 2 \end{cases}$

Из первого неравенства $3^x > 3^0$ следует $x > 0$.

Из второго неравенства следует $x > \log_3(2)$.

Так как $0 < \log_3(2) < 1$ (поскольку $3^0 < 2 < 3^1$), то условие $x > \log_3(2)$ является более строгим, чем $x > 0$. ОДЗ: $x > \log_3(2)$.

Преобразуем уравнение, перенеся логарифм в левую часть:

$\log_2(3^x - 1) + \log_2(3^x - 2) = 1$

Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_2((3^x - 1)(3^x - 2)) = 1$

По определению логарифма:

$(3^x - 1)(3^x - 2) = 2^1$

$(3^x - 1)(3^x - 2) = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Из ОДЗ следует, что $t = 3^x > 3^{\log_3(2)} = 2$. Итак, $t > 2$.

Подставим $t$ в уравнение:

$(t - 1)(t - 2) = 2$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$t^2 - 2t - t + 2 = 2$

$t^2 - 3t = 0$

$t(t - 3) = 0$

Получаем два корня для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$.

Корень $t_1 = 0$ не удовлетворяет условию $t > 2$.

Корень $t_2 = 3$ удовлетворяет условию $t > 2$.

Выполним обратную замену:

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ ОДЗ $x > \log_3(2)$. Сравним $1$ и $\log_3(2)$. Так как $1 = \log_3(3)$ и $3 > 2$, то $\log_3(3) > \log_3(2)$, следовательно, $1 > \log_3(2)$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1.

Решите системы уравнений (42–44):

42. 1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ \log_2 x - \log_2 y = 1. \end{cases}$

42. 1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\\log_2 x + \log_2 y = 1\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому $x > 0$ и $y > 0$.

Упростим второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2(xy) = 1$

Из определения логарифма следует, что $xy = 2^1$, то есть $xy = 2$.

Теперь система принимает вид:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\xy = 2\end{cases}$

Это симметричная система. Мы можем выразить $y$ из второго уравнения: $y = \frac{2}{x}$. Поскольку по ОДЗ $x>0$, то и $y$ будет больше нуля, что соответствует ОДЗ.

Подставим $y = \frac{2}{x}$ в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5$

$x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$

Введем замену переменной $t = x^2$. Так как $x > 0$, то $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{4}{t} = 5$

Умножим обе части на $t$ (где $t \neq 0$):

$t^2 + 4 = 5t$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t>0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $t=1$, то $x^2 = 1$. Учитывая, что $x>0$, получаем $x=1$. Тогда $y = \frac{2}{1} = 2$. Получаем пару $(1, 2)$.

2. Если $t=4$, то $x^2 = 4$. Учитывая, что $x>0$, получаем $x=2$. Тогда $y = \frac{2}{2} = 1$. Получаем пару $(2, 1)$.

Обе пары решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 2)$, $(2, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = 12 \\\log_2 x - \log_2 y = 1\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.

Упростим второе уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_2\left(\frac{x}{y}\right) = 1$

Из определения логарифма следует, что $\frac{x}{y} = 2^1$, то есть $\frac{x}{y} = 2$.

Отсюда $x = 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(2y)^2 - y^2 = 12$

$4y^2 - y^2 = 12$

$3y^2 = 12$

$y^2 = 4$

Возможные значения для $y$: $y=2$ и $y=-2$.

Согласно ОДЗ ($y>0$), мы выбираем только $y=2$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 2 = 4$.

Проверим найденное решение $(4, 2)$ на соответствие исходной системе и ОДЗ.

ОДЗ: $x=4 > 0$ и $y=2 > 0$ - выполняется.

Первое уравнение: $4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$ - верно.

Второе уравнение: $\log_2 4 - \log_2 2 = 2 - 1 = 1$ - верно.

Следовательно, решение единственное.

Ответ: $(4, 2)$.

43. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ \lg x + \lg y = \lg 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \log_{0.5} x + \log_{0.5} y = -1, \\ x - 2y = 3. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ \lg x + \lg y = \lg 12\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения следует, что $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg(xy) = \lg 12$

Отсюда получаем:

$xy = 12$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12\end{cases}$

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим известные значения из системы:

$(x+y)^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 25 + 24 = 49$

Из этого следует, что $x+y = 7$ или $x+y = -7$.

Так как по ОДЗ $x > 0$ и $y > 0$, их сумма также должна быть положительной, поэтому выбираем $x+y = 7$.

Теперь мы имеем новую, более простую систему:

$\begin{cases} x+y = 7, \\ xy = 12\end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставив значения, получим уравнение:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

$t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(3, 4)$ и $(4, 3)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, y > 0$).

Ответ: $(3, 4), (4, 3)$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \log_{0.5}x + \log_{0.5}y = -1, \\ x - 2y = 3\end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из первого уравнения следует, что $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{0.5}(xy) = -1$

По определению логарифма:

$xy = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$

Система принимает вид:

$\begin{cases} xy = 2, \\ x - 2y = 3\end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 3 + 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(3 + 2y)y = 2$

$3y + 2y^2 = 2$

$2y^2 + 3y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$y_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Согласно ОДЗ, $y > 0$, поэтому корень $y_1 = -2$ не является решением. Остается $y = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 3 + 2y = 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4$

Полученная пара $(4, \frac{1}{2})$ удовлетворяет ОДЗ, так как $x = 4 > 0$ и $y = \frac{1}{2} > 0$.

Ответ: $(4, \frac{1}{2})$.

44. 1) $ \begin{cases} 3^{1+\log_3 (x+2y)} = 6x, \\ 3^{x^2-2y} = 9^{0,5x}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^x \cdot 3^y = \frac{1}{27}, \\ 0,1^x \cdot 10^y = 10^{-8}. \end{cases} $

1) Решим систему уравнений:$\begin{cases} 3^{1+\log_3(x+2y)} = 6x, \\ 3^{x^2-2y} = 9^{0.5x}\end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+2y > 0$. Также, левая часть первого уравнения $3^{1+\log_3(x+2y)}$ всегда положительна, следовательно, правая часть $6x$ тоже должна быть положительной, откуда $x > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойства степени и логарифма $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{\log_a b} = b$:

$3^1 \cdot 3^{\log_3(x+2y)} = 6x$

$3(x+2y) = 6x$

Разделим обе части на 3:

$x+2y = 2x$

$x = 2y$

Теперь преобразуем второе уравнение, приведя обе части к основанию 3:

$3^{x^2-2y} = (3^2)^{0.5x}$

$3^{x^2-2y} = 3^{2 \cdot 0.5x}$

$3^{x^2-2y} = 3^x$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2-2y = x$

Получили систему из двух более простых уравнений:$\begin{cases} x = 2y \\ x^2-2y = x\end{cases}$

Подставим $2y$ из первого уравнения во второе:

$x^2-x = x$

$x^2-2x = 0$

$x(x-2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Проверим эти значения по ОДЗ ($x > 0$).

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

$x_2 = 2$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $x=2y$:

$2 = 2y \implies y=1$.

Проверим пару $(2; 1)$ по второму условию ОДЗ $x+2y > 0$:

$2+2(1) = 4 > 0$. Условие выполняется.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

2) Решим систему уравнений:$\begin{cases} 3^x \cdot 3^y = \frac{1}{27}, \\ 0.1^x \cdot 10^y = 10^{-8}\end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и зная, что $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$:

$3^{x+y} = 3^{-3}$

Приравниваем показатели степеней:

$x+y = -3$

Теперь преобразуем второе уравнение. Представим $0.1$ как степень 10: $0.1 = 10^{-1}$.

$(10^{-1})^x \cdot 10^y = 10^{-8}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-x} \cdot 10^y = 10^{-8}$

$10^{-x+y} = 10^{-8}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x+y = -8$

Получили систему линейных уравнений:$\begin{cases} x+y = -3 \\ -x+y = -8\end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $x$:

$(x+y) + (-x+y) = -3 + (-8)$

$2y = -11$

$y = -5.5$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение $x+y=-3$:

$x + (-5.5) = -3$

$x = -3 + 5.5$

$x = 2.5$

Решение системы - пара чисел $(2.5; -5.5)$.

Ответ: $(2.5; -5.5)$.

Решите показательные неравенства (45–54):

45. 1) $(\frac{1}{4})^{-3x} < 8^2;

2) $9^{-4x} > \left(\frac{1}{81}\right)^2;$

3) $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5;$

4) $6^{\frac{2x-1}{x}} < 36.$

1) Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^{-3x} < 8^2$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к основанию 2.

Преобразуем левую часть: $(\frac{1}{4})^{-3x} = ((2^2)^{-1})^{-3x} = (2^{-2})^{-3x} = 2^{(-2) \cdot (-3x)} = 2^{6x}$.

Преобразуем правую часть: $8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.

Неравенство принимает вид: $2^{6x} < 2^6$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому, сравнивая показатели, мы сохраняем знак неравенства:

$6x < 6$

Разделим обе части на 6:

$x < 1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

2) Исходное неравенство: $9^{-4x} > (\frac{1}{81})^2$.

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Левая часть: $9^{-4x} = (3^2)^{-4x} = 3^{2 \cdot (-4x)} = 3^{-8x}$.

Правая часть: $(\frac{1}{81})^2 = (\frac{1}{3^4})^2 = (3^{-4})^2 = 3^{-4 \cdot 2} = 3^{-8}$.

Неравенство принимает вид: $3^{-8x} > 3^{-8}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-8x > -8$

Разделим обе части неравенства на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-8}{-8}$

$x < 1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

3) Исходное неравенство: $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $5 = 5^1$. Неравенство примет вид: $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5^1$.

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$\frac{2x}{x+1} > 1$

Необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) показателя: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Решим полученное дробно-рациональное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{2x}{x+1} - 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x - (x+1)}{x+1} > 0$

$\frac{x-1}{x+1} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=-1$). Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения $\frac{x-1}{x+1}$ на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$.

Для $x > 1$ (например, $x=2$), выражение положительно: $\frac{+}{+} > 0$.

Для $-1 < x < 1$ (например, $x=0$), выражение отрицательно: $\frac{-}{+} < 0$.

Для $x < -1$ (например, $x=-2$), выражение положительно: $\frac{-}{-} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty; -1)$ и $(1; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

4) Исходное неравенство: $6^{\frac{2x-1}{x}} < 36$.

Приведем правую часть к основанию 6: $36 = 6^2$.

Неравенство принимает вид: $6^{\frac{2x-1}{x}} < 6^2$.

Так как основание $6 > 1$, показательная функция возрастает. Сохраняя знак, переходим к неравенству для показателей:

$\frac{2x-1}{x} < 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) показателя: $x \neq 0$.

Решим дробно-рациональное неравенство. Перенесем 2 в левую часть:

$\frac{2x-1}{x} - 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x-1 - 2x}{x} < 0$

$\frac{-1}{x} < 0$

Данная дробь будет отрицательной, если ее знаменатель будет положительным, так как числитель (-1) отрицателен.

Следовательно, $x > 0$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $(0; \infty)$.

46. 1) $4^{x^2-1} > 64;$

2) $5^{6-2x^2} < \frac{1}{625};$

3) $27 \cdot 3^{x^2-3x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1};$

4) $8 \cdot 2^{x^2-4x} > \frac{1}{2}.$

1) Решим неравенство $4^{x-1} > 64$.

Для начала приведем обе части неравенства к одному основанию. В данном случае это 4, так как $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$.

Неравенство принимает вид:

$4^{x-1} > 4^3$

Поскольку основание степени $4$ больше 1, показательная функция $y=4^t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x - 1 > 3$

Переносим -1 в правую часть:

$x > 3 + 1$

$x > 4$

Таким образом, решение неравенства — все числа, большие 4.

Ответ: $(4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $5^{6-2x^2} < \frac{1}{625}$.

Приведем обе части к основанию 5. Мы знаем, что $625 = 5^4$, следовательно, $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.

Получаем неравенство:

$5^{6-2x^2} < 5^{-4}$

Основание степени $5 > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется.

$6 - 2x^2 < -4$

Перенесем 6 в правую часть:

$-2x^2 < -4 - 6$

$-2x^2 < -10$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x^2 > 5$

Это равносильно неравенству $x^2 - 5 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5 = 0$, это $x = \pm\sqrt{5}$.

Парабола $y = x^2 - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения за пределами своих корней.

Следовательно, $x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $27 \cdot 3^{x^2-3x} < (\frac{1}{3})^{-1}$.

Приведем все члены неравенства к основанию 3.

$27 = 3^3$

$(\frac{1}{3})^{-1} = (3^{-1})^{-1} = 3^{(-1)\cdot(-1)} = 3^1 = 3$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$3^3 \cdot 3^{x^2-3x} < 3^1$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), упростим левую часть:

$3^{3 + x^2 - 3x} < 3^1$

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x^2 - 3x + 3 < 1$

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $1 < x < 2$.

Ответ: $(1; 2)$.

4) Решим неравенство $8 \cdot 2^{x^2-4x} > \frac{1}{2}$.

Приведем все члены неравенства к основанию 2.

$8 = 2^3$

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставляем в неравенство:

$2^3 \cdot 2^{x^2-4x} > 2^{-1}$

Упростим левую часть, сложив показатели степеней:

$2^{3 + x^2 - 4x} > 2^{-1}$

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x^2 - 4x + 3 > -1$

$x^2 - 4x + 4 > 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности: $(x-2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(x-2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть $\ge 0$). Выражение $(x-2)^2$ равно нулю только при $x-2 = 0$, то есть при $x=2$. Во всех остальных случаях оно строго больше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

47. 1) $49^{0.5x^2 - 1} < (\frac{1}{7})^{-2}$;

2) $(0.16)^{0.5x^2 - 3} > (2.5)^{-3}$;

3) $(0.04)^{3 - 0.5x^2} > 125$;

4) $9^{0.5x^2 - 2.5} < (\frac{1}{3})^{-4}$.

1) Приведем обе части неравенства $49^{0,5x^2 - 1} < (\frac{1}{7})^{-2}$ к одному основанию 7.

Так как $49 = 7^2$ и $(\frac{1}{7})^{-2} = (7^{-1})^{-2} = 7^2$, то неравенство принимает вид:

$(7^2)^{0,5x^2 - 1} < 7^2$

$7^{2(0,5x^2 - 1)} < 7^2$

$7^{x^2 - 2} < 7^2$

Поскольку основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2 < 2$

$x^2 - 4 < 0$

Разложим левую часть на множители: $(x - 2)(x + 2) < 0$.

Решением этого квадратного неравенства является интервал между корнями $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.

2) Приведем обе части неравенства $(0,16)^{0,5x^2 - 3} > (2,5)^{-3}$ к одному основанию. Удобно использовать основание $\frac{2}{5}$.

Преобразуем числа: $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$ и $2,5 = \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$.

Подставим в исходное неравенство:

$((\frac{2}{5})^2)^{0,5x^2 - 3} > ((\frac{2}{5})^{-1})^{-3}$

$(\frac{2}{5})^{2(0,5x^2 - 3)} > (\frac{2}{5})^3$

$(\frac{2}{5})^{x^2 - 6} > (\frac{2}{5})^3$

Поскольку основание степени $0 < \frac{2}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 6 < 3$

$x^2 - 9 < 0$

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) < 0$.

Решением этого квадратного неравенства является интервал между корнями $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

3) Приведем обе части неравенства $(0,04)^{3 - 0,5x^2} > 125$ к одному основанию 5.

Преобразуем числа: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$ и $125 = 5^3$.

Подставим в исходное неравенство:

$(5^{-2})^{3 - 0,5x^2} > 5^3$

$5^{-2(3 - 0,5x^2)} > 5^3$

$5^{-6 + x^2} > 5^3$

$5^{x^2 - 6} > 5^3$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 6 > 3$

$x^2 - 9 > 0$

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$.

Решением этого квадратного неравенства является объединение интервалов вне корней $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.

4) Приведем обе части неравенства $9^{0,5x^2 - 2,5} < (\frac{1}{3})^{-4}$ к одному основанию 3.

Так как $9 = 3^2$ и $(\frac{1}{3})^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^4$, то неравенство принимает вид:

$(3^2)^{0,5x^2 - 2,5} < 3^4$

$3^{2(0,5x^2 - 2,5)} < 3^4$

$3^{x^2 - 5} < 3^4$

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5 < 4$

$x^2 - 9 < 0$

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) < 0$.

Решением этого квадратного неравенства является интервал между корнями $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

48. 1) $7^{x^2 - 2x} > 343;$

2) $6^{3x - x^2} < 36;$

3) $\frac{3^x - 9}{3^x + 2} < 0;$

4) $\frac{(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4}}{7 + 2x^2} > 0.$

1) $7^{x^2-2x} > 343$

Представим число $343$ в виде степени с основанием $7$: $343 = 7^3$.

Получим неравенство: $7^{x^2-2x} > 7^3$.

Так как основание степени $7 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2-2x > 3$

$x^2-2x-3 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2-2x-3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2-2x-3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2-2x-3 > 0$ выполняется при значениях $x$ за пределами корней.

$x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

2) $6^{3x-x^2} < 36$

Представим число $36$ в виде степени с основанием $6$: $36 = 6^2$.

Получим неравенство: $6^{3x-x^2} < 6^2$.

Так как основание степени $6 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$3x-x^2 < 2$

$-x^2+3x-2 < 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2-3x+2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2-3x+2 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2-3x+2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2-3x+2 > 0$ выполняется при значениях $x$ за пределами корней.

$x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

3) $\frac{3^x - 9}{3^x + 2} < 0$

Оценим знаменатель дроби. Выражение $3^x$ всегда положительно для любого действительного $x$, то есть $3^x > 0$.

Следовательно, знаменатель $3^x + 2 > 0 + 2 = 2$. Знаменатель всегда положителен.

Поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:

$3^x - 9 < 0$

$3^x < 9$

$3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x < 2$.

$x \in (-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

4) $\frac{(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4}}{7 + 2x^2} > 0$

Оценим знаменатель дроби. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$.

Следовательно, $2x^2 \ge 0$, а знаменатель $7 + 2x^2 \ge 7$. Знаменатель всегда положителен.

Таким образом, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:

$(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4} > 0$

$(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$

Представим $\frac{1}{4}$ как степень с основанием $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2$

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$.

$x \in (-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

49. 1) $27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3x^2} < \left(\frac{1}{9}\right)^{-4x};$

2) $25 \cdot (5)^{-5x^2} > 125^{3x};$

3) $\sqrt{243} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2} > \left(\frac{1}{27}\right)^{-3x};$

4) $\sqrt{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2} < \left(\frac{1}{4}\right)^{4x}.$

1) $27 \cdot (\frac{1}{3})^{3x^2} < (\frac{1}{9})^{-4x}$

Приведем все части неравенства к основанию 3.

$27 = 3^3$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$3^3 \cdot (3^{-1})^{3x^2} < (3^{-2})^{-4x}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим выражение:

$3^3 \cdot 3^{-3x^2} < 3^{8x}$

$3^{3-3x^2} < 3^{8x}$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$3-3x^2 < 8x$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$-3x^2 - 8x + 3 < 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$3x^2 + 8x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Парабола $y = 3x^2 + 8x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $3x^2 + 8x - 3 > 0$ выполняется за пределами корней.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$

2) $25 \cdot (5)^{-5x^2} > 125^{3x}$

Приведем все части неравенства к основанию 5.

$25 = 5^2$

$125 = 5^3$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$5^2 \cdot 5^{-5x^2} > (5^3)^{3x}$

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$5^{2-5x^2} > 5^{9x}$

Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$2-5x^2 > 9x$

Перенесем все члены в одну часть:

$-5x^2 - 9x + 2 > 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$5x^2 + 9x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$

$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Парабола $y = 5x^2 + 9x - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $5x^2 + 9x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-2; \frac{1}{5})$

3) $\sqrt{243} \cdot (\frac{1}{3})^{4x^2} > (\frac{1}{27})^{-3x}$

Приведем все части неравенства к основанию 3.

$\sqrt{243} = \sqrt{3^5} = (3^5)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

$\frac{1}{27} = 3^{-3}$

Подставим эти значения в неравенство:

$3^{\frac{5}{2}} \cdot (3^{-1})^{4x^2} > (3^{-3})^{-3x}$

Упростим выражение:

$3^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{-4x^2} > 3^{9x}$

$3^{\frac{5}{2}-4x^2} > 3^{9x}$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{5}{2} - 4x^2 > 9x$

Перенесем все в одну сторону:

$-4x^2 - 9x + \frac{5}{2} > 0$

Умножим на -2, чтобы избавиться от дробей и отрицательного коэффициента при $x^2$, и изменим знак неравенства:

$8x^2 + 18x - 5 < 0$

Найдем корни уравнения $8x^2 + 18x - 5 = 0$:

$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484$

$x_1 = \frac{-18 - \sqrt{484}}{2 \cdot 8} = \frac{-18 - 22}{16} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$

$x_2 = \frac{-18 + \sqrt{484}}{2 \cdot 8} = \frac{-18 + 22}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Парабола $y = 8x^2 + 18x - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $8x^2 + 18x - 5 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-\frac{5}{2}; \frac{1}{4})$

4) $\sqrt{8} \cdot (\frac{1}{2})^{6x^2} < (\frac{1}{4})^{4x}$

Приведем все части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$.

$\sqrt{8} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$

Подставим эти значения в неравенство:

$(\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} \cdot (\frac{1}{2})^{6x^2} < ((\frac{1}{2})^2)^{4x}$

Упростим выражение:

$(\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2} + 6x^2} < (\frac{1}{2})^{8x}$

Так как основание степени $\frac{1}{2} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{3}{2} + 6x^2 > 8x$

Перенесем все члены в одну часть:

$6x^2 - 8x - \frac{3}{2} > 0$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$12x^2 - 16x - 3 > 0$

Найдем корни уравнения $12x^2 - 16x - 3 = 0$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400$

$x_1 = \frac{16 - \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{16 - 20}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{16 + \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{16 + 20}{24} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$

Парабола $y = 12x^2 - 16x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $12x^2 - 16x - 3 > 0$ выполняется за пределами корней.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$

50. 1)

$36 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^{2x} < 6^{x(x-3)};$

2)

$25 \cdot 0.2^{2x(3+x)} > 0.04^{2x};$

3)

$9^x - 10 \cdot 3^x < -9;$

4)

$4^{x+1} - 3 \cdot 2^x > 1.$

1) $36 \cdot (\frac{1}{36})^{3x} < 6^{x(x-3)}$

Приведем все части неравенства к основанию 6. Мы знаем, что $36 = 6^2$ и $\frac{1}{36} = 36^{-1} = (6^2)^{-1} = 6^{-2}$.

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$6^2 \cdot (6^{-2})^{3x} < 6^{x(x-3)}$

Упростим левую часть, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$6^2 \cdot 6^{-6x} < 6^{x^2-3x}$

$6^{2-6x} < 6^{x^2-3x}$

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$2 - 6x < x^2 - 3x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$0 < x^2 - 3x + 6x - 2$

$x^2 + 3x - 2 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 + 3x - 2 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.

2) $25 \cdot 0.2^{x(3+x)} > 0.04^{2x}$

Приведем все части неравенства к одному основанию, например, к 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$, $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $0.04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}$.

Подставим эти значения в неравенство:

$5^2 \cdot (5^{-1})^{x(3+x)} > (5^{-2})^{2x}$

Упростим обе части неравенства, используя свойства степеней:

$5^2 \cdot 5^{-x(3+x)} > 5^{-4x}$

$5^{2 - (3x+x^2)} > 5^{-4x}$

$5^{2 - 3x - x^2} > 5^{-4x}$

Так как основание степени $5 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$2 - 3x - x^2 > -4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^2 - 3x + 4x + 2 > 0$

$-x^2 + x + 2 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-1; 2)$.

3) $9^x - 10 \cdot 3^x < -9$

Перепишем неравенство, перенеся -9 в левую часть и представив $9^x$ как $(3^x)^2$:

$(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 10t + 9 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение 9. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 10t + 9$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $t^2 - 10t + 9 < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, $1 < t < 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену $t = 3^x$:

$1 < 3^x < 9$

Представим 1 и 9 как степени с основанием 3:

$3^0 < 3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей:

$0 < x < 2$

Следовательно, решение неравенства: $x \in (0; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

4) $4^{x+1} - 3 \cdot 2^x > 1$

Перенесем 1 в левую часть и преобразуем $4^{x+1}$:

$4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2$.

Неравенство принимает вид:

$4 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$4t^2 - 3t - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $4t^2 - 3t - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

Корни уравнения: $t_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

Парабола $y = 4t^2 - 3t - 1$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $4t^2 - 3t - 1 > 0$ выполняется, когда $t$ находится за пределами корней:

$t < -\frac{1}{4}$ или $t > 1$.

Учитывая условие $t > 0$, решение $t < -\frac{1}{4}$ является невозможным.

Остается только $t > 1$.

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

$2^x > 1$

Представим 1 как степень с основанием 2:

$2^x > 2^0$

Так как основание $2 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей:

$x > 0$

Следовательно, решение неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

51. 1) $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 1;$

2) $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} < 1;$

3) $0,08^{\frac{x}{x^2-1}} > 1;$

4) $\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < 1.$

1)

Дано показательное неравенство $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 11. Так как любое число в нулевой степени равно 1, получаем $1 = 11^0$.

Неравенство принимает вид: $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 11^0$.

Поскольку основание степени $11 > 1$, показательная функция $y = 11^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$\frac{x+3}{x^2-4} > 0$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$\frac{x+3}{(x-2)(x+2)} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+3=0 \implies x=-3$.

Нули знаменателя: $(x-2)(x+2)=0 \implies x=2, x=-2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$.

При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{3+3}{(3-2)(3+2)} = \frac{+}{+\cdot+} > 0$.

При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0+3}{(0-2)(0+2)} = \frac{+}{-\cdot+} < 0$.

При $-3 < x < -2$ (например, $x=-2.5$): $\frac{-2.5+3}{(-2.5-2)(-2.5+2)} = \frac{+}{-\cdot-} > 0$.

При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4+3}{(-4-2)(-4+2)} = \frac{-}{-\cdot-} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы $(-3; -2)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; +\infty)$.

2)

Дано показательное неравенство $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} < 1$.

Представим 1 как $7^0$. Неравенство принимает вид: $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} < 7^0$.

Поскольку основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$\frac{x^2-25}{x+6} < 0$

Разложим числитель на множители: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.

$\frac{(x-5)(x+5)}{x+6} < 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $(x-5)(x+5)=0 \implies x=5, x=-5$.

Нуль знаменателя: $x+6=0 \implies x=-6$.

Отметим точки -6, -5, 5 на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знаки в интервалах: $(-\infty; -6)$, $(-6; -5)$, $(-5; 5)$, $(5; +\infty)$.

При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.

При $-5 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.

При $-6 < x < -5$ (например, $x=-5.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.

При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы $(-\infty; -6)$ и $(-5; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-5; 5)$.

3)

Дано показательное неравенство $0.08^{\frac{x}{x^2-1}} > 1$.

Представим 1 как $0.08^0$. Неравенство принимает вид: $0.08^{\frac{x}{x^2-1}} > 0.08^0$.

Поскольку основание степени $0.08 < 1$, показательная функция $y = 0.08^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x}{x^2-1} < 0$

Разложим знаменатель на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

$\frac{x}{(x-1)(x+1)} < 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0$, $x=1$, $x=-1$.

Отметим точки -1, 0, 1 на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знаки в интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{+}{(+)(+)} > 0$.

При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{+}{(-)(+)} < 0$.

При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{-}{(-)(+)} > 0$.

При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-}{(-)(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

4)

Дано показательное неравенство $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < 1$.

Представим 1 как $(\frac{3}{4})^0$. Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < (\frac{3}{4})^0$.

Поскольку основание степени $\frac{3}{4} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x^2-36}{x^2-16} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$\frac{(x-6)(x+6)}{(x-4)(x+4)} > 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $x=6, x=-6$.

Нули знаменателя: $x=4, x=-4$.

Отметим точки -6, -4, 4, 6 на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знаки в интервалах: $(-\infty; -6)$, $(-6; -4)$, $(-4; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$.

При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.

При $4 < x < 6$ (например, $x=5$): $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$.

При $-4 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$.

При $-6 < x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$.

При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы $(-\infty; -6)$, $(-4; 4)$ и $(6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-4; 4) \cup (6; +\infty)$.