Номер 51, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

51. 1) $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 1;$

2) $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} < 1;$

3) $0,08^{\frac{x}{x^2-1}} > 1;$

4) $\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < 1.$

1)

Дано показательное неравенство $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 11. Так как любое число в нулевой степени равно 1, получаем $1 = 11^0$.

Неравенство принимает вид: $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 11^0$.

Поскольку основание степени $11 > 1$, показательная функция $y = 11^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$\frac{x+3}{x^2-4} > 0$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$\frac{x+3}{(x-2)(x+2)} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+3=0 \implies x=-3$.

Нули знаменателя: $(x-2)(x+2)=0 \implies x=2, x=-2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$.

При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{3+3}{(3-2)(3+2)} = \frac{+}{+\cdot+} > 0$.

При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0+3}{(0-2)(0+2)} = \frac{+}{-\cdot+} < 0$.

При $-3 < x < -2$ (например, $x=-2.5$): $\frac{-2.5+3}{(-2.5-2)(-2.5+2)} = \frac{+}{-\cdot-} > 0$.

При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4+3}{(-4-2)(-4+2)} = \frac{-}{-\cdot-} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы $(-3; -2)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; +\infty)$.

2)

Дано показательное неравенство $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} < 1$.

Представим 1 как $7^0$. Неравенство принимает вид: $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} < 7^0$.

Поскольку основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$\frac{x^2-25}{x+6} < 0$

Разложим числитель на множители: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.

$\frac{(x-5)(x+5)}{x+6} < 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $(x-5)(x+5)=0 \implies x=5, x=-5$.

Нуль знаменателя: $x+6=0 \implies x=-6$.

Отметим точки -6, -5, 5 на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знаки в интервалах: $(-\infty; -6)$, $(-6; -5)$, $(-5; 5)$, $(5; +\infty)$.

При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.

При $-5 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.

При $-6 < x < -5$ (например, $x=-5.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.

При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы $(-\infty; -6)$ и $(-5; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-5; 5)$.

3)

Дано показательное неравенство $0.08^{\frac{x}{x^2-1}} > 1$.

Представим 1 как $0.08^0$. Неравенство принимает вид: $0.08^{\frac{x}{x^2-1}} > 0.08^0$.

Поскольку основание степени $0.08 < 1$, показательная функция $y = 0.08^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x}{x^2-1} < 0$

Разложим знаменатель на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

$\frac{x}{(x-1)(x+1)} < 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0$, $x=1$, $x=-1$.

Отметим точки -1, 0, 1 на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знаки в интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{+}{(+)(+)} > 0$.

При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{+}{(-)(+)} < 0$.

При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{-}{(-)(+)} > 0$.

При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-}{(-)(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

4)

Дано показательное неравенство $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < 1$.

Представим 1 как $(\frac{3}{4})^0$. Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < (\frac{3}{4})^0$.

Поскольку основание степени $\frac{3}{4} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x^2-36}{x^2-16} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$\frac{(x-6)(x+6)}{(x-4)(x+4)} > 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $x=6, x=-6$.

Нули знаменателя: $x=4, x=-4$.

Отметим точки -6, -4, 4, 6 на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знаки в интервалах: $(-\infty; -6)$, $(-6; -4)$, $(-4; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$.

При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.

При $4 < x < 6$ (например, $x=5$): $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$.

При $-4 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$.

При $-6 < x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$.

При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы $(-\infty; -6)$, $(-4; 4)$ и $(6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-4; 4) \cup (6; +\infty)$.