Номер 49, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

49. 1) $27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3x^2} < \left(\frac{1}{9}\right)^{-4x};$

2) $25 \cdot (5)^{-5x^2} > 125^{3x};$

3) $\sqrt{243} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2} > \left(\frac{1}{27}\right)^{-3x};$

4) $\sqrt{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2} < \left(\frac{1}{4}\right)^{4x}.$

1) $27 \cdot (\frac{1}{3})^{3x^2} < (\frac{1}{9})^{-4x}$

Приведем все части неравенства к основанию 3.

$27 = 3^3$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$3^3 \cdot (3^{-1})^{3x^2} < (3^{-2})^{-4x}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим выражение:

$3^3 \cdot 3^{-3x^2} < 3^{8x}$

$3^{3-3x^2} < 3^{8x}$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$3-3x^2 < 8x$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$-3x^2 - 8x + 3 < 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$3x^2 + 8x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Парабола $y = 3x^2 + 8x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $3x^2 + 8x - 3 > 0$ выполняется за пределами корней.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$

2) $25 \cdot (5)^{-5x^2} > 125^{3x}$

Приведем все части неравенства к основанию 5.

$25 = 5^2$

$125 = 5^3$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$5^2 \cdot 5^{-5x^2} > (5^3)^{3x}$

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$5^{2-5x^2} > 5^{9x}$

Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$2-5x^2 > 9x$

Перенесем все члены в одну часть:

$-5x^2 - 9x + 2 > 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$5x^2 + 9x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$

$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Парабола $y = 5x^2 + 9x - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $5x^2 + 9x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-2; \frac{1}{5})$

3) $\sqrt{243} \cdot (\frac{1}{3})^{4x^2} > (\frac{1}{27})^{-3x}$

Приведем все части неравенства к основанию 3.

$\sqrt{243} = \sqrt{3^5} = (3^5)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

$\frac{1}{27} = 3^{-3}$

Подставим эти значения в неравенство:

$3^{\frac{5}{2}} \cdot (3^{-1})^{4x^2} > (3^{-3})^{-3x}$

Упростим выражение:

$3^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{-4x^2} > 3^{9x}$

$3^{\frac{5}{2}-4x^2} > 3^{9x}$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{5}{2} - 4x^2 > 9x$

Перенесем все в одну сторону:

$-4x^2 - 9x + \frac{5}{2} > 0$

Умножим на -2, чтобы избавиться от дробей и отрицательного коэффициента при $x^2$, и изменим знак неравенства:

$8x^2 + 18x - 5 < 0$

Найдем корни уравнения $8x^2 + 18x - 5 = 0$:

$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484$

$x_1 = \frac{-18 - \sqrt{484}}{2 \cdot 8} = \frac{-18 - 22}{16} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$

$x_2 = \frac{-18 + \sqrt{484}}{2 \cdot 8} = \frac{-18 + 22}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Парабола $y = 8x^2 + 18x - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $8x^2 + 18x - 5 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-\frac{5}{2}; \frac{1}{4})$

4) $\sqrt{8} \cdot (\frac{1}{2})^{6x^2} < (\frac{1}{4})^{4x}$

Приведем все части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$.

$\sqrt{8} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$

Подставим эти значения в неравенство:

$(\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} \cdot (\frac{1}{2})^{6x^2} < ((\frac{1}{2})^2)^{4x}$

Упростим выражение:

$(\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2} + 6x^2} < (\frac{1}{2})^{8x}$

Так как основание степени $\frac{1}{2} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{3}{2} + 6x^2 > 8x$

Перенесем все члены в одну часть:

$6x^2 - 8x - \frac{3}{2} > 0$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$12x^2 - 16x - 3 > 0$

Найдем корни уравнения $12x^2 - 16x - 3 = 0$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400$

$x_1 = \frac{16 - \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{16 - 20}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{16 + \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{16 + 20}{24} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$

Парабола $y = 12x^2 - 16x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $12x^2 - 16x - 3 > 0$ выполняется за пределами корней.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$