Номер 43, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

43. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ \lg x + \lg y = \lg 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \log_{0.5} x + \log_{0.5} y = -1, \\ x - 2y = 3. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ \lg x + \lg y = \lg 12\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения следует, что $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg(xy) = \lg 12$

Отсюда получаем:

$xy = 12$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12\end{cases}$

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим известные значения из системы:

$(x+y)^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 25 + 24 = 49$

Из этого следует, что $x+y = 7$ или $x+y = -7$.

Так как по ОДЗ $x > 0$ и $y > 0$, их сумма также должна быть положительной, поэтому выбираем $x+y = 7$.

Теперь мы имеем новую, более простую систему:

$\begin{cases} x+y = 7, \\ xy = 12\end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставив значения, получим уравнение:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

$t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(3, 4)$ и $(4, 3)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, y > 0$).

Ответ: $(3, 4), (4, 3)$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \log_{0.5}x + \log_{0.5}y = -1, \\ x - 2y = 3\end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из первого уравнения следует, что $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{0.5}(xy) = -1$

По определению логарифма:

$xy = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$

Система принимает вид:

$\begin{cases} xy = 2, \\ x - 2y = 3\end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 3 + 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(3 + 2y)y = 2$

$3y + 2y^2 = 2$

$2y^2 + 3y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$y_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Согласно ОДЗ, $y > 0$, поэтому корень $y_1 = -2$ не является решением. Остается $y = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 3 + 2y = 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4$

Полученная пара $(4, \frac{1}{2})$ удовлетворяет ОДЗ, так как $x = 4 > 0$ и $y = \frac{1}{2} > 0$.

Ответ: $(4, \frac{1}{2})$.