Номер 36, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите логарифмические уравнения (36–41):

36. 1) $log_4(x^2 - 5) = 1;$

2) $log_6(x^2 - 2) = 1;$

3) $log_3(4 + \sqrt{x}) = 2;$

4) $log_5(\sqrt{x} + 1) = 2.$

1) Решим уравнение $log_4(x^2 - 5) = 1$.

Согласно определению логарифма, уравнение $log_a(b) = c$ равносильно уравнению $a^c = b$. Применив это правило, получим:

$x^2 - 5 = 4^1$

$x^2 - 5 = 4$

Перенесем -5 в правую часть уравнения и сложим:

$x^2 = 4 + 5$

$x^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 5 > 0$

Проверяем корень $x = 3$:

$3^2 - 5 = 9 - 5 = 4$. Так как $4 > 0$, корень подходит.

Проверяем корень $x = -3$:

$(-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4$. Так как $4 > 0$, этот корень также подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm 3$.

2) Решим уравнение $log_6(x^2 - 2) = 1$.

По определению логарифма:

$x^2 - 2 = 6^1$

$x^2 - 2 = 6$

Переносим -2 в правую часть:

$x^2 = 6 + 2$

$x^2 = 8$

Находим корни:

$x = \pm\sqrt{8} = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm 2\sqrt{2}$.

Проверим ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

$x^2 - 2 > 0$

Проверяем корни $x = \pm 2\sqrt{2}$:

$(\pm 2\sqrt{2})^2 - 2 = 4 \cdot 2 - 2 = 8 - 2 = 6$. Так как $6 > 0$, оба корня являются решениями.

Ответ: $x = \pm 2\sqrt{2}$.

3) Решим уравнение $log_3(4 + \sqrt{x}) = 2$.

По определению логарифма:

$4 + \sqrt{x} = 3^2$

$4 + \sqrt{x} = 9$

Выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = 9 - 4$

$\sqrt{x} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 5^2 = 25$.

Проверим ОДЗ. Для исходного уравнения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным ($x \ge 0$), а аргумент логарифма — строго положительным ($4 + \sqrt{x} > 0$).

Проверяем корень $x = 25$:

$25 \ge 0$, это верно.

$4 + \sqrt{25} = 4 + 5 = 9$. Так как $9 > 0$, это тоже верно.

Корень удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $x = 25$.

4) Решим уравнение $log_5(\sqrt{x} + 1) = 2$.

Используем определение логарифма:

$\sqrt{x} + 1 = 5^2$

$\sqrt{x} + 1 = 25$

Выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = 25 - 1$

$\sqrt{x} = 24$

Возводим обе части в квадрат:

$x = 24^2 = 576$.

Проверим ОДЗ: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} + 1 > 0$.

Проверяем корень $x = 576$:

$576 \ge 0$, верно.

$\sqrt{576} + 1 = 24 + 1 = 25$. Так как $25 > 0$, верно.

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 576$.