Номер 34, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

34. 1) $4^x + 16 = 10 \cdot 2^x;$

2) $9^x - 36 \cdot 3^x + 243 = 0;$

3) $25^x - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0;$

4) $36^x - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0.$

1) $4^x + 16 = 10 \cdot 2^x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному относительно $2^x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 - 10t + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Легко подобрать корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 8$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $t_1 = 2$, то $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

2. Если $t_2 = 8$, то $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.

Ответ: $1; 3$.

2) $9^x - 36 \cdot 3^x + 243 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Сведем уравнение к квадратному.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 36t + 243 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243 = 1296 - 972 = 324 = 18^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 18}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 18}{2} = \frac{54}{2} = 27$

Оба корня положительны, поэтому подходят.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 9$, то $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

2. Если $t_2 = 27$, то $3^x = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x = 3$.

Ответ: $2; 3$.

3) $25^x - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0$

Представим $25^x$ как $(5^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - \frac{26}{5}t + 1 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $t_1 = \frac{1}{5}$, то $5^x = \frac{1}{5} \implies 5^x = 5^{-1} \implies x = -1$.

2. Если $t_2 = 5$, то $5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

Ответ: $-1; 1$.

4) $36^x - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0$

Представим $36^x$ как $(6^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - \frac{7}{36}t + \frac{1}{216} = 0$

Умножим обе части уравнения на 216, чтобы избавиться от дробей:

$216t^2 - 216 \cdot \frac{7}{36}t + 216 \cdot \frac{1}{216} = 0$

$216t^2 - 6 \cdot 7t + 1 = 0$

$216t^2 - 42t + 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 216 \cdot 1 = 1764 - 864 = 900 = 30^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{42 - 30}{2 \cdot 216} = \frac{12}{432} = \frac{1}{36}$

$t_2 = \frac{42 + 30}{2 \cdot 216} = \frac{72}{432} = \frac{1}{6}$

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = \frac{1}{36}$, то $6^x = \frac{1}{36} \implies 6^x = 6^{-2} \implies x = -2$.

2. Если $t_2 = \frac{1}{6}$, то $6^x = \frac{1}{6} \implies 6^x = 6^{-1} \implies x = -1$.

Ответ: $-2; -1$.