Номер 29, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

29. 1) $\sqrt{1 - \sin x} = \cos x$;

2) $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x$;

3) $\sqrt{\frac{x}{x + 1}} + 2\sqrt{\frac{x + 1}{x}} = 3$;

4) $\sqrt{\frac{x - 1}{x}} - 3\sqrt{\frac{x}{x - 1}} = 2$.

1) Решим уравнение $\sqrt{1 - \sin x} = \cos x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - \sin x \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $\sin x \le 1$.

2. Значение арифметического квадратного корня неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $\cos x \ge 0$. Это соответствует $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая ОДЗ:

$(\sqrt{1 - \sin x})^2 = (\cos x)^2$

$1 - \sin x = \cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$1 - \sin x = 1 - \sin^2 x$

$\sin^2 x - \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

а) $\sin x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x - 1 = 0$, то есть $\sin x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($\cos x \ge 0$):

Для случая а) $x = \pi n$:

Если $n$ - четное число, то есть $n=2k$, то $x = 2\pi k$. Тогда $\cos(2\pi k) = 1 \ge 0$. Эти корни подходят.

Если $n$ - нечетное число, то есть $n=2k+1$, то $x = \pi(2k+1)$. Тогда $\cos(\pi(2k+1)) = -1 < 0$. Эти корни не подходят.

Для случая б) $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$:

$\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0 \ge 0$. Эти корни подходят.

Объединяем подходящие решения.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x$.

ОДЗ: $1 - \cos x \ge 0$ (верно для всех $x$) и $\sin x \ge 0$. Условие $\sin x \ge 0$ означает, что $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Возведем обе части в квадрат:

$1 - \cos x = \sin^2 x$

Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$1 - \cos x = 1 - \cos^2 x$

$\cos^2 x - \cos x = 0$

$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x - 1 = 0$, то есть $\cos x = 1$. Решения: $x = 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($\sin x \ge 0$):

Для случая а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:

Если $n$ - четное, $n=2k$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Тогда $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1 \ge 0$. Корни подходят.

Если $n$ - нечетное, $n=2k+1$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi(2k+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. Тогда $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = -1 < 0$. Корни не подходят.

Для случая б) $x = 2\pi m$:

$\sin(2\pi m) = 0 \ge 0$. Корни подходят.

Объединяем подходящие решения.

Ответ: $x = 2\pi m, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $m, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3$.

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательны. $\frac{x}{x+1} \ge 0$ и $\frac{x+1}{x} \ge 0$. Оба неравенства выполняются одновременно, когда $x$ и $x+1$ имеют одинаковые знаки. Также знаменатели не должны быть равны нулю, т.е. $x \ne 0$ и $x \ne -1$.

Методом интервалов для $\frac{x}{x+1} > 0$ получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. Так как $x$ принадлежит ОДЗ, то $y > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x+1}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$y + 2 \cdot \frac{1}{y} = 3$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):

$y^2 + 2 = 3y$

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $y_1 = 1, y_2 = 2$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену:

а) $y = 1 \implies \sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1$. Возводим в квадрат: $\frac{x}{x+1} = 1 \implies x = x+1 \implies 0=1$. Решений нет.

б) $y = 2 \implies \sqrt{\frac{x}{x+1}} = 2$. Возводим в квадрат: $\frac{x}{x+1} = 4 \implies x = 4(x+1) \implies x = 4x + 4 \implies -3x = 4 \implies x = -\frac{4}{3}$.

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = -\frac{4}{3}$ ОДЗ $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Так как $-\frac{4}{3} < -1$, то корень принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$ и является решением.

Ответ: $x = -\frac{4}{3}$.

4) Решим уравнение $\sqrt{\frac{x-1}{x}} - 3\sqrt{\frac{x}{x-1}} = 2$.

ОДЗ: $\frac{x-1}{x} \ge 0$ и $\frac{x}{x-1} \ge 0$. Знаменатели не равны нулю: $x \ne 0, x \ne 1$.

Методом интервалов для $\frac{x-1}{x} > 0$ получаем $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$. Из ОДЗ следует, что $y > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{x}{x-1}} = \frac{1}{y}$.

Уравнение принимает вид:

$y - \frac{3}{y} = 2$

Умножим на $y$ ($y \ne 0$):

$y^2 - 3 = 2y$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решаем квадратное уравнение, например, разложением на множители:

$(y-3)(y+1) = 0$

Получаем два корня: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Так как по условию замены $y > 0$, корень $y = -1$ является посторонним. Используем только $y = 3$.

Выполняем обратную замену:

$\sqrt{\frac{x-1}{x}} = 3$

Возводим в квадрат обе части:

$\frac{x-1}{x} = 9$

$x-1 = 9x$

$8x = -1$

$x = -\frac{1}{8}$

Проверим, принадлежит ли корень $x = -\frac{1}{8}$ ОДЗ $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Да, $-\frac{1}{8} < 0$, поэтому корень принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$ и является решением.

Ответ: $x = -\frac{1}{8}$.