Номер 35, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

35. 1) $4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0;$

2) $3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7;$

3) $4^{\sqrt{x+3}} - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}};$

4) $25^{\sqrt{x+2}} - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}.$

1) $4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0$

Используем свойства степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

Преобразуем уравнение: $4^x \cdot 4^1 + \frac{4^1}{4^x} - 10 = 0$

$4 \cdot 4^x + \frac{4}{4^x} - 10 = 0$

Введем замену: пусть $y = 4^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Получаем уравнение с новой переменной: $4y + \frac{4}{y} - 10 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):

$4y^2 + 4 - 10y = 0$

$4y^2 - 10y + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения: $2y^2 - 5y + 2 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$y_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$y_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $y > 0$.

Выполняем обратную замену:

1. $4^x = y_1 \implies 4^x = 2 \implies (2^2)^x = 2^1 \implies 2^{2x} = 2^1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

2. $4^x = y_2 \implies 4^x = \frac{1}{2} \implies (2^2)^x = 2^{-1} \implies 2^{2x} = 2^{-1} \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}; x = -\frac{1}{2}$.

2) $3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $3^1 \cdot 3^x - 2 \cdot \frac{3^1}{3^x} = 7$.

$3 \cdot 3^x - \frac{6}{3^x} = 7$.

Введем замену: пусть $y = 3^x$, где $y > 0$.

Подставляем замену в уравнение: $3y - \frac{6}{y} = 7$.

Умножим обе части на $y$ ($y \neq 0$): $3y^2 - 6 = 7y$.

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $3y^2 - 7y - 6 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 11}{6}$.

$y_1 = \frac{7+11}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

$y_2 = \frac{7-11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Так как $y > 0$, корень $y_2 = -\frac{2}{3}$ является посторонним.

Выполняем обратную замену для $y_1 = 3$:

$3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.

Ответ: $x=1$.

3) $4^{\sqrt{x+3}} - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Представим $4^{\sqrt{x+3}}$ как $(2^2)^{\sqrt{x+3}} = (2^{\sqrt{x+3}})^2$.

Уравнение принимает вид: $(2^{\sqrt{x+3}})^2 - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}}$.

Введем замену: пусть $y = 2^{\sqrt{x+3}}$. Так как $\sqrt{x+3} \ge 0$, то $y = 2^{\sqrt{x+3}} \ge 2^0 = 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $y^2 - 32 = 4y$.

$y^2 - 4y - 32 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=8$ и $y_2=-4$.

Так как $y \ge 1$, корень $y_2 = -4$ является посторонним.

Выполняем обратную замену для $y_1 = 8$:

$2^{\sqrt{x+3}} = 8 \implies 2^{\sqrt{x+3}} = 2^3$.

Приравниваем показатели степени: $\sqrt{x+3} = 3$.

Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x+3})^2 = 3^2 \implies x+3 = 9$.

$x = 6$.

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $6 \ge -3$. Удовлетворяет.

Ответ: $x=6$.

4) $25^{\sqrt{x+2}} - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Представим $25^{\sqrt{x+2}}$ как $(5^2)^{\sqrt{x+2}} = (5^{\sqrt{x+2}})^2$.

Уравнение принимает вид: $(5^{\sqrt{x+2}})^2 - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}$.

Введем замену: пусть $y = 5^{\sqrt{x+2}}$. Так как $\sqrt{x+2} \ge 0$, то $y = 5^{\sqrt{x+2}} \ge 5^0 = 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $y^2 - 10 = 3y$.

$y^2 - 3y - 10 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=5$ и $y_2=-2$.

Так как $y \ge 1$, корень $y_2 = -2$ является посторонним.

Выполняем обратную замену для $y_1 = 5$:

$5^{\sqrt{x+2}} = 5 \implies 5^{\sqrt{x+2}} = 5^1$.

Приравниваем показатели степени: $\sqrt{x+2} = 1$.

Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x+2})^2 = 1^2 \implies x+2 = 1$.

$x = -1$.

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $-1 \ge -2$. Удовлетворяет.

Ответ: $x=-1$.