Номер 38, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

38. 1) $\log_3(x + 1) - \log_3(x - 1) = 1$;

2) $\log_7(x^2 + 6x) = 1$;

3) $\log_3(x^2 - x) = 1$;

4) $\log_4(7x + 4) - \log_4(2x - 1) = 1$.

1) $ \log_3(x+1) - \log_3(x-1) = 1 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x+1 > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (1; +\infty) $.

Теперь решим уравнение. Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $:

$ \log_3\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = 1 $

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), получаем:

$ \frac{x+1}{x-1} = 3^1 $

$ \frac{x+1}{x-1} = 3 $

Так как из ОДЗ $ x > 1 $, то $ x-1 \neq 0 $. Умножим обе части на $ (x-1) $:

$ x+1 = 3(x-1) $

$ x+1 = 3x - 3 $

$ 4 = 2x $

$ x = 2 $

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. Так как $ 2 > 1 $, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: 2

2) $ \log_7(x^2 + 6x) = 1 $

Определим ОДЗ: $ x^2 + 6x > 0 $. Разложим на множители: $ x(x+6) > 0 $.

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $ x \in (-\infty, -6) \cup (0, \infty) $.

Перейдем к решению уравнения по определению логарифма:

$ x^2 + 6x = 7^1 $

$ x^2 + 6x - 7 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно -7. Отсюда находим корни: $ x_1 = -7 $ и $ x_2 = 1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

Для $ x_1 = -7 $: $ -7 < -6 $, корень подходит.

Для $ x_2 = 1 $: $ 1 > 0 $, корень подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -7; 1

3) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x) = -1 $

Определим ОДЗ: $ x^2 - x > 0 $. Разложим на множители: $ x(x-1) > 0 $.

Решая неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $.

Решим уравнение, используя определение логарифма:

$ x^2 - x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} $

$ x^2 - x = 2 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Находим корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

Для $ x_1 = 2 $: $ 2 > 1 $, корень подходит.

Для $ x_2 = -1 $: $ -1 < 0 $, корень подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; 2

4) $ \log_4(7x+4) - \log_4(2x-1) = 1 $

Определим ОДЗ:

$ \begin{cases} 7x+4 > 0 \\ 2x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x > -4 \\ 2x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{4}{7} \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \implies x > \frac{1}{2} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (\frac{1}{2}; +\infty) $.

Используем свойство разности логарифмов:

$ \log_4\left(\frac{7x+4}{2x-1}\right) = 1 $

По определению логарифма:

$ \frac{7x+4}{2x-1} = 4^1 $

$ \frac{7x+4}{2x-1} = 4 $

Так как из ОДЗ $ x > \frac{1}{2} $, то $ 2x-1 \neq 0 $. Умножим обе части на $ (2x-1) $:

$ 7x+4 = 4(2x-1) $

$ 7x+4 = 8x-4 $

$ 8 = x $

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Так как $ 8 > \frac{1}{2} $, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: 8