Номер 41, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

41. 1) $\log_3(2^x - 1) = 1 - \log_3(2^x - 3)$;

2) $\log_2(3^x - 1) = 1 - \log_2(3^x - 2)$.

1) Решим уравнение $\log_3(2^x - 1) = 1 - \log_3(2^x - 3)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2^x - 1 > 0 \\ 2^x - 3 > 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2^x > 1 \\ 2^x > 3 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $2^x > 2^0$, что означает $x > 0$.

Из второго неравенства получаем $x > \log_2(3)$.

Поскольку $\log_2(3) > \log_2(2) = 1$, то условие $x > \log_2(3)$ является более строгим. Таким образом, ОДЗ: $x > \log_2(3)$.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Перенесем логарифм из правой части в левую:

$\log_3(2^x - 1) + \log_3(2^x - 3) = 1$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_3((2^x - 1)(2^x - 3)) = 1$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $):

$(2^x - 1)(2^x - 3) = 3^1$

$(2^x - 1)(2^x - 3) = 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Учитывая ОДЗ, $x > \log_2(3)$, имеем $t = 2^x > 2^{\log_2(3)} = 3$. Итак, $t > 3$.

Подставим $t$ в уравнение:

$(t - 1)(t - 3) = 3$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 3t - t + 3 = 3$

$t^2 - 4t = 0$

$t(t - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$.

Проверим эти значения. Корень $t_1 = 0$ не удовлетворяет условию $t > 3$.

Корень $t_2 = 4$ удовлетворяет условию $t > 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ ОДЗ $x > \log_2(3)$. Сравним $2$ и $\log_2(3)$. Так как $2 = \log_2(4)$ и $4 > 3$, то $\log_2(4) > \log_2(3)$, следовательно, $2 > \log_2(3)$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.

2) Решим уравнение $\log_2(3^x - 1) = 1 - \log_2(3^x - 2)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3^x - 1 > 0 \\ 3^x - 2 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 3^x > 1 \\ 3^x > 2 \end{cases}$

Из первого неравенства $3^x > 3^0$ следует $x > 0$.

Из второго неравенства следует $x > \log_3(2)$.

Так как $0 < \log_3(2) < 1$ (поскольку $3^0 < 2 < 3^1$), то условие $x > \log_3(2)$ является более строгим, чем $x > 0$. ОДЗ: $x > \log_3(2)$.

Преобразуем уравнение, перенеся логарифм в левую часть:

$\log_2(3^x - 1) + \log_2(3^x - 2) = 1$

Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_2((3^x - 1)(3^x - 2)) = 1$

По определению логарифма:

$(3^x - 1)(3^x - 2) = 2^1$

$(3^x - 1)(3^x - 2) = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Из ОДЗ следует, что $t = 3^x > 3^{\log_3(2)} = 2$. Итак, $t > 2$.

Подставим $t$ в уравнение:

$(t - 1)(t - 2) = 2$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$t^2 - 2t - t + 2 = 2$

$t^2 - 3t = 0$

$t(t - 3) = 0$

Получаем два корня для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$.

Корень $t_1 = 0$ не удовлетворяет условию $t > 2$.

Корень $t_2 = 3$ удовлетворяет условию $t > 2$.

Выполним обратную замену:

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ ОДЗ $x > \log_3(2)$. Сравним $1$ и $\log_3(2)$. Так как $1 = \log_3(3)$ и $3 > 2$, то $\log_3(3) > \log_3(2)$, следовательно, $1 > \log_3(2)$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1.