Номер 45, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите показательные неравенства (45–54):

45. 1) $(\frac{1}{4})^{-3x} < 8^2;

2) $9^{-4x} > \left(\frac{1}{81}\right)^2;$

3) $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5;$

4) $6^{\frac{2x-1}{x}} < 36.$

1) Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^{-3x} < 8^2$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к основанию 2.

Преобразуем левую часть: $(\frac{1}{4})^{-3x} = ((2^2)^{-1})^{-3x} = (2^{-2})^{-3x} = 2^{(-2) \cdot (-3x)} = 2^{6x}$.

Преобразуем правую часть: $8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.

Неравенство принимает вид: $2^{6x} < 2^6$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому, сравнивая показатели, мы сохраняем знак неравенства:

$6x < 6$

Разделим обе части на 6:

$x < 1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

2) Исходное неравенство: $9^{-4x} > (\frac{1}{81})^2$.

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Левая часть: $9^{-4x} = (3^2)^{-4x} = 3^{2 \cdot (-4x)} = 3^{-8x}$.

Правая часть: $(\frac{1}{81})^2 = (\frac{1}{3^4})^2 = (3^{-4})^2 = 3^{-4 \cdot 2} = 3^{-8}$.

Неравенство принимает вид: $3^{-8x} > 3^{-8}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-8x > -8$

Разделим обе части неравенства на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-8}{-8}$

$x < 1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

3) Исходное неравенство: $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $5 = 5^1$. Неравенство примет вид: $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5^1$.

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$\frac{2x}{x+1} > 1$

Необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) показателя: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Решим полученное дробно-рациональное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{2x}{x+1} - 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x - (x+1)}{x+1} > 0$

$\frac{x-1}{x+1} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=-1$). Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения $\frac{x-1}{x+1}$ на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$.

Для $x > 1$ (например, $x=2$), выражение положительно: $\frac{+}{+} > 0$.

Для $-1 < x < 1$ (например, $x=0$), выражение отрицательно: $\frac{-}{+} < 0$.

Для $x < -1$ (например, $x=-2$), выражение положительно: $\frac{-}{-} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty; -1)$ и $(1; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

4) Исходное неравенство: $6^{\frac{2x-1}{x}} < 36$.

Приведем правую часть к основанию 6: $36 = 6^2$.

Неравенство принимает вид: $6^{\frac{2x-1}{x}} < 6^2$.

Так как основание $6 > 1$, показательная функция возрастает. Сохраняя знак, переходим к неравенству для показателей:

$\frac{2x-1}{x} < 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) показателя: $x \neq 0$.

Решим дробно-рациональное неравенство. Перенесем 2 в левую часть:

$\frac{2x-1}{x} - 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x-1 - 2x}{x} < 0$

$\frac{-1}{x} < 0$

Данная дробь будет отрицательной, если ее знаменатель будет положительным, так как числитель (-1) отрицателен.

Следовательно, $x > 0$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $(0; \infty)$.