Номер 52, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

52. 1) $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^{1-2x} > 0;$

2) $5 \cdot 4^x + 3 \cdot 10^x - 2 \cdot 25^x < 0;$

3) $3^{2x+1} > 4 - 3^x;$

4) $8^x + 3 \cdot 4^x - 2^{x+2} - 12 > 0.$

1) Исходное неравенство: $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^{1-2x} > 0$.

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^1 \cdot 3^{-2x} > 0$, что равносильно $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3 \cdot (3^{-x})^2 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{-x}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $3 - 8t - 3t^2 > 0$.

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $3t^2 + 8t - 3 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 + 8t - 3 = 0$.

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$; $t_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Решением неравенства $3t^2 + 8t - 3 < 0$ является интервал между корнями: $-3 < t < \frac{1}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{3}$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $0 < 3^{-x} < \frac{1}{3}$.

Неравенство $3^{-x} > 0$ выполняется для любого $x$. Решаем неравенство $3^{-x} < \frac{1}{3}$.

Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$: $3^{-x} < 3^{-1}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется: $-x < -1$.

Умножив на $-1$, получаем $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $5 \cdot 4^x + 3 \cdot 10^x - 2 \cdot 25^x < 0$.

Заметим, что $4^x = (2^x)^2$, $25^x = (5^x)^2$ и $10^x = 2^x \cdot 5^x$. Неравенство является однородным: $5 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 2 \cdot (5^x)^2 < 0$.

Разделим обе части неравенства на $25^x = (5^x)^2$. Так как $25^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится:

$5 \cdot \frac{4^x}{25^x} + 3 \cdot \frac{10^x}{25^x} - 2 < 0$

$5 \cdot \left(\left(\frac{2}{5}\right)^x\right)^2 + 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 2 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{5}\right)^x$. Так как $t$ - показательная функция, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $5t^2 + 3t - 2 < 0$.

Найдем корни уравнения $5t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$; $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Решением неравенства $5t^2 + 3t - 2 < 0$ является интервал $(-1, \frac{2}{5})$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{2}{5}$.

Вернемся к переменной $x$: $0 < \left(\frac{2}{5}\right)^x < \frac{2}{5}$.

Неравенство $\left(\frac{2}{5}\right)^x > 0$ верно для всех $x$. Решаем $\left(\frac{2}{5}\right)^x < \left(\frac{2}{5}\right)^1$.

Так как основание степени $\frac{2}{5} \in (0, 1)$, показательная функция убывающая. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $3^{2x+1} > 4 - 3^x$.

Преобразуем левую часть: $3 \cdot 3^{2x} > 4 - 3^x$.

Перенесем все члены в левую часть: $3 \cdot (3^x)^2 + 3^x - 4 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $3t^2 + t - 4 > 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 + t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$; $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Решением неравенства $3t^2 + t - 4 > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -\frac{4}{3}) \cup (1, +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем первый интервал. Остается $t > 1$.

Вернемся к переменной $x$: $3^x > 1$.

Так как $1 = 3^0$, получаем $3^x > 3^0$.

Основание степени $3 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Сравнивая показатели, получаем $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $8^x + 3 \cdot 4^x - 2^{x+2} - 12 > 0$.

Представим все слагаемые в виде степеней с основанием 2: $8^x = (2^x)^3$, $4^x = (2^x)^2$, $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$.

Подставим в неравенство: $(2^x)^3 + 3 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x - 12 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $t > 0$.

Получаем кубическое неравенство: $t^3 + 3t^2 - 4t - 12 > 0$.

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$t^2(t + 3) - 4(t + 3) > 0$

$(t^2 - 4)(t + 3) > 0$

$(t - 2)(t + 2)(t + 3) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни многочлена: $t_1=2$, $t_2=-2$, $t_3=-3$.

Интервалы, на которых неравенство выполняется: $(-3, -2) \cup (2, +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем интервал $(-3, -2)$. Остается $t > 2$.

Вернемся к переменной $x$: $2^x > 2$.

Так как $2 = 2^1$, получаем $2^x > 2^1$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Сравнивая показатели, получаем $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.