Номер 48, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

48. 1) $7^{x^2 - 2x} > 343;$

2) $6^{3x - x^2} < 36;$

3) $\frac{3^x - 9}{3^x + 2} < 0;$

4) $\frac{(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4}}{7 + 2x^2} > 0.$

1) $7^{x^2-2x} > 343$

Представим число $343$ в виде степени с основанием $7$: $343 = 7^3$.

Получим неравенство: $7^{x^2-2x} > 7^3$.

Так как основание степени $7 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2-2x > 3$

$x^2-2x-3 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2-2x-3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2-2x-3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2-2x-3 > 0$ выполняется при значениях $x$ за пределами корней.

$x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

2) $6^{3x-x^2} < 36$

Представим число $36$ в виде степени с основанием $6$: $36 = 6^2$.

Получим неравенство: $6^{3x-x^2} < 6^2$.

Так как основание степени $6 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$3x-x^2 < 2$

$-x^2+3x-2 < 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2-3x+2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2-3x+2 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2-3x+2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2-3x+2 > 0$ выполняется при значениях $x$ за пределами корней.

$x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

3) $\frac{3^x - 9}{3^x + 2} < 0$

Оценим знаменатель дроби. Выражение $3^x$ всегда положительно для любого действительного $x$, то есть $3^x > 0$.

Следовательно, знаменатель $3^x + 2 > 0 + 2 = 2$. Знаменатель всегда положителен.

Поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:

$3^x - 9 < 0$

$3^x < 9$

$3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x < 2$.

$x \in (-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

4) $\frac{(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4}}{7 + 2x^2} > 0$

Оценим знаменатель дроби. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$.

Следовательно, $2x^2 \ge 0$, а знаменатель $7 + 2x^2 \ge 7$. Знаменатель всегда положителен.

Таким образом, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:

$(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4} > 0$

$(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$

Представим $\frac{1}{4}$ как степень с основанием $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2$

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$.

$x \in (-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.